Как определяются частные производные

Высших порядков ?

Производные второго порядка можно снова дифференцировать по х и у. Получим частные производные 3^го порядка. Их будет, очевидно, уже восемь: , , ,

, , , , .

Определение. Частная производная n-го порядка от функции z = f (x, y) есть производная от производной (n–1)-го порядка.

Например: = .

Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

Что называют дифференциалом второго

Порядка функции двух переменных ?

Определение. Дифференциалом второго порядка функции z = f (x, y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка и обозначается:

d² f (x, y) = d (d f (x, y))

Если функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то вычислительная формула для d² f (x, y) имеет вид:

d² f (x, y) = dx² + 2 dx dy + dy²

Примеры решения задач

Задача 1. Найти полную производную функции

z = ln (x² + y²), если х = , y = t²+ 1.

Решение. Используем правило дифференцирования сложной функции (3.1.1):

= ; = ; = ; = 2 t.

Окончательно получаем:

= × + × 2 t = .

Задача 2. Найти частную производную и полную производную , если z = e^xy, где у = j (х).

Решение. Частная производная по х равна: = e^xy × у. Полную производную найдем по формуле дифференцирования сложной функции (3.12):

= e^xy × у + e^xy × х × j¢(х) = e^xy (у + х j¢ (х)).

Задача 3. Найти и , если z = x + y², где

x = v² + sin u, y = ln (u² + v).

Решение. Частные производные и , найдем по формуле дифференцирования сложной функции (3.1.3):

= 1; = 2y; = cos u; = ;

= 2v; = .

Окончательно имеем:

= 1 × сos u + 2y × = cos u +

= 1 × 2v + 2y × = 2v + .

Самостоятельно рекомендуем решить задачи № 1 – 8.

Задача 4. Найти производную по х функции у, заданной неявно:

+ - 1 = 0.

Решение. Неявная функция задана уравнением

F (x, y) = 0. Искомую производную найдем по формуле (3.1.5):

F_x¢ = = ; F_y¢ = = ;

= - = - .

Задача 5. Найти частные производные функции z, заданной неявно

х² – 2у² + 3z² – y z + y = 0.

Решение. Неявная функция задана уравнением

F (x, y, z) = 0. Искомые частные производные найдем по формуле (3.1.4):

F_x¢ = = 2х; F_y¢ = = - 4у – z + 1; F_z¢ = = 6 z – y.

= - ; = - .

Задача 6. Найти все частные производные второго порядка функции

z = x³ – 4 x²y + 5 y².

Решение . Сначала найдем частные производные первого порядка:

= 3 х² – 8 ху; = - 4х² + 10 у.

Мы видим, что и являются функциями двух переменных, значит их можно еще дифференцировать по каждой переменной. Найдем частные производные второго порядка:

= 6х – 8 у; = - 8 х;