Банк задач для самостоятельной работы

 

Задача 1. Найти , если z = e^x-2y, где x = sin t, y = t³.

Задача 2. Найти , если z = arcsin (x – y), где x = 3t,

y = 4t³.

Задача 3. Найти , если z = x² + y² + xy, где x = sin t,

y = e^t.

Задача 4. Найти , если z = arctg (xy),где y = e^x.

Задача 5.  u = ln (e^x + e^y).  = ? Найти , если у = х³.

Задача 6. Найти , , если z = x²y – y²x, где 

x = u × cos v, y = u × sin v.

Задача 7. Найти , , если z = x² ln y, где x = ,

y = 3u – 2v.

Задача 8. Показать, что функция z = arctg , где

x = u + v, y = u – v удовлетворяет соотношению

 +  = .

 

В задачах 9 – 13 найти производные функций, заданных неявно.

9. х³у – у³х = а⁴.      = ?       Ответ. .

10.  ху – ln y = a.      = ?       Ответ. .

11.  sin (xy) – e^xy – x²y = 0.   = ?

                                  Ответ.  × .

12.  х² – 2у² + z² – 4x + 2z – 5 = 0.  = ?  = ?

                      Ответ.  = ;  = .

13. х² + y² – z² – xy = 0. Найти ,  при х = -1,

y = 0, z = 1                           Ответ. –1; .

Задача 14.  F (x,y, z) = 0. Доказать, что

 ×  =1;  ×  ×  = -1.

Задача 15.  z =x³ + xy² – 5 xy³ + y⁵. Показать, что

 = .

Задача 16.  z = x^y. Показать,что  = .

Задача 17.  z = sin (xу). Показать, что

 =  = .

Задача 18. Найти все частные производные второго порядка

u = 2x +xy + yz.

Ответ.  =  =  = 0, 

 =  =  = 1.

Задача 19. u = e^x (x cos y – y sin y).

Показать, что  +  = 0.

Задача 20.  V = x^m yⁿ z^p. Найти .

Ответ. m n p (n – 1) (n – 2) (p – 1) x^{m - 1} y^{n - 3} z ^{p – 2},

Задача 21.  u = e^{x y z}. Показать, что

 = ху  + 2х  + u.

В задачах 22 – 23 найти дифференциалы второго порядка.

22. z = xy² – x² y.

Ответ. d² z = 2y dx² + 4 (y – x) dx dy + 2x dy².

23. u = y z x.

Ответ. d² z = 2 (z dx dy + y dx dz + x dy dz).

Задача 24. z = sin (2x + y). Найти  d³ z в точке (0, p).

Ответ.  (2 dx + dy)³.

 

 

Варианты проверочной работы

 

В первом задании найти , ; во втором найти частные производные функции z, заданной неявно, в третьем задании найти частные производные 2-го порядка.

 

Вариант № 1                              Вариант № 2

 

1.  z = 2xy – x,  где                        1. z = x² y – y² x, где

x = u² + v, y = u + v²                x = u × sin v, y = v cos u

2. x² + y² + z² = a²                         2.  +  +  - 1 = 0

3. z = x³ – 4 x²y + 5y²                   3. z = ln (x + e^-y)

 

 

Вариант № 3                              Вариант № 4

 

1.  z = arctg (x – y),  где                1. z = ln sin (x ), где

x = , y = u v                          x = cos (u-v), y = sin (u-v)

2. (yz)^x = (x)^yz                    2. x – y tg a z = 0

3. z = e^y/x                                       3. z = arctg

 

Вариант № 5                              Вариант № 6

 

1. z = tg ln (x y), где                   1. z = x^y, где

x = u , y =                          x = sin (u+2v), y = sin (u-v)

2. z² +  -  = 0              2. y – x × ctg a z = 0

3. z = e^xy                                        3. z = e^x/y

 

 

Вариант № 7                                   Вариант № 8

 

1.  z = e^3x-2y,  где                            1. z = ln , где

x = tg (uv), y =                      x = u – v², y = u² + v

2. x cos y + y cos z + z cos x = 1  2. x² + y² – z² – xy = 0

3. z =                                      3. z = ln (x² + y²)

 

 

Вариант № 9                              Вариант № 10

 

1.  z = arctg ,  где                       1. z = arcsin , где

x = , y =                x = u cos v, y = v sin u

2. x² + 2y² + z² – 3 x y z – 2y = 0 2.  + ln x = 0

3. z = x × sin (x + y)                       3. z =  +

 

 

4. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

Теоретические сведения

Что называют максимумом (минимумом)

      функции z = f (x, y) в точке М₀ (x₀, y₀) ?

 

Пусть функция z = f (x, y)определена в области D и точка М₀ (x₀, y₀) является внутренней точкой этой области.

Определение 1. Функция z = f (x, y)имеет в точке М₀ локальный максимум, если в некоторой окрестности этой точки функция удовлетворяет неравенству: f (x, y) < f (x₀, y₀).

Определение 2. В точке М₀ (x₀, y₀) функция имеет локальный минимум, если в ее окрестности выполняется неравенство: f (x, y) > f (x₀, y₀).

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции.

 

В чем заключаются необходимые условия

Экстремума ?

 

Ответ на вопрос дает теорема.

Теорема 1. Если функция z = f (x, y) достигает экстремума в точке М₀ (x₀, y₀), то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль в этой точке или не существует.

Точки в которых  = 0    = 0 (или не существуют) называются критическими точками функции.

Теорема 2. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой области и точка М₀ (x₀, y₀), - ее критическая точка. Пусть при этом функция имеет частные производные второго порядка, непрерывные в точке М₀ и ее окрестности. Введем обозначения

А = ,    В = ,    C = .

Тогда:

1) если АС – В² > 0, функция имеет в точке М₀ локальный экстремум, причем если А > 0 – локальный минимум, если А < 0 – локальный максимум;

2) если АС – В² < 0, экстремума в точке М₀ нет;

3) если АС – В² = 0, вопрос о наличии экстремума остается открытым (в этом случае требуется дальнейшее исследование).

 

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 151; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!