Операции над событиями и вероятностями событий
Суммой событий (А1 + А2 + А3 +…+ А n) называется событие, наступающее только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий А1, А2, А3,… А n.
Произведением событий (А1 ´ А2 ´ А3 ´ …´ А n) называется событие, наступающее только тогда, когда данные события А1, А2, А3,… А n происходят одновременно.
Особые случаи:
1. 
2. 
Если события А1 и А2 – несовместные, то 
.
Если события А1 и А2 – совместные, то 
.
Пример 3.
Из 30 студентов в группе 8 из них занимаются волейболом, 12 – теннисом, 6 – посещают занятия и по волейболу и по теннису.
1. Какова вероятность того, что выбранный наудачу студент либо занимается двумя видами спорта, либо не занимается ни одним из них?
2. Какова вероятность того, что выбранный наудачу студент занимается либо волейболом, либо теннисом?
Решение:
1. Обозначим:
А – событие, состоящее в том, что выбранный наудачу студент занимается двумя видами спорта;
В – событие, состоящее в том, что студент ничем не занимается.
Тогда (А + В) – событие, состоящее в том, что студент либо занимается двумя видами спорта, либо не занимается ни одним из них.
События А и В – несовместные, а значит, P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ).
Найдем вероятности событий А и В: 
.
Следовательно, 
.
Ответ: 
.
2. Обозначим:
С – событие, состоящее в том, что студент занимается волейболом;
D – событие, состоящее в том, что студент занимается теннисом;
(С + D) – событие, состоящее в том, что студент занимается либо волейболом,
либо теннисом;
|
|
|
(С×D) – событие, состоящее в том, что студент занимается и волейболом и теннисом.
События С и D – совместные, а значит,
.
Таким образом, 
.
Ответ: 
.
Если А и В – два случайных события одного испытания, то условной вероятностью события А при условии, что наступило событие В называют такое число, что 
.
Обозначение: 
.
Если события А и В – независимые, т. е. наступление одного из них не оказывает никакого влияния на наступление другого, то выполняются следующие условия:
Пример 4.
Какова вероятность того, что выбранная наугад карта из колоды в 36 листов окажется тузом, если известно, что она пиковой масти?
Решение:
Обозначим:
А – событие, состоящее в том, что выбранная карта является тузом;
В – событие, состоящее в том, что взятая карта масти пик.
События А и В совместные, а значит, (А×В) – событие, которое состоит в том, что взятая карта оказалась тузом пик. Вычислим вероятности событий В и (АВ).
, следовательно, 
.
Ответ: 
.
Пример 5.
Имеется три партии электроламп, в каждой из которых соответственно 20, 30 и 50 штук. Какова вероятность того, что выбранная наугад лампа из ста данных проработает заданное время, если вероятность того, что лампы проработают заданное время для каждой партии, соответственно равна 0,7; 0,8 и 0,9?
|
|
|
Решение:
Обозначим:
Н1, Н2, и Н3 – события, состоящие в том, что выбранная лампа принадлежит соответственно 1-й, 2-й, 3-й партии;
А – событие состоит в том, что взятая лампа проработает заданное время.
Тогда
по определению вероятности события.
по условию задачи.
Согласно формуле полной вероятности события, имеем:
Ответ: 0,83.
Если Н1, Н2, Н3,…, Нi,…, Н n – полная система попарно несовместных событий, связанных с некоторым испытанием, а А – произвольное событие, наступившее в ходе того же испытания вместе с одним из событий Н i, то сумма произведений вероятностей P (Н i ) и P ( A /Н i ):
– определяет формулу полной вероятности события А.
Основные источники:
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256 с.
2. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности : учеб. Пособие для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. - 208 с.
3. Башмаков М.И. Сборник задач по математике: учеб. пособие для учреждений нач. и сред. проф. образования – 5-е изд., испр.-М.: издательский центр «Академия», 2012
|
|
|
Дополнительные источники:
1. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / Ю.М. Колягин, Ю.В, Сидоров, М.И. Ткачева и др. – 7-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2007. – 364с.: ил.
2. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. . – 7-е изд., стер. – М.: 2009. – 264 с.: ил.
3. Богомолов Н.В. Математика : учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 395с. : ил.
4. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике : учеб. пособие для ссузов / Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – М.: Дрофа, 2005. – 236, : ил.
5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов. – 2-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2005. – 204, с.: ил.
6. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. Учебное пособие. – Ростов-на-Дону: Феникс 2009
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики.-М.: Высшее образование, 2009
8. Соловейчик И. Л., Лисичкин В. Т. Учебное пособие.Сборник задач по математике для техникумов - М: «ОНИКС 21 век», Мир и образование, 2003.
|
|
|
Интернет – ресурсы:
1. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека (Электронный ресурс). – Режим доступа: http://window.edu.ru /window , свободный. – Загл. с экрана.
2. Российская национальная библиотека (Электронный ресурс), -
Режим доступа: http://nlr.ru/lawcenter , свободный. – Загл. с экрана.
3. Электронные библиотеки России / pdf учебники студентам (Электронный ресурс).- Режим доступа: http:// www.gaudeamus.omskcity.com/my_PDF _library.html , свободный.- Загл. с экрана.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 205; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!