Тема 1.2 Иследование функции с помощью производной.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, нужно исследовать поведение функции на данном отрезке с помощью производной.
Для этого мы следуем известному алгоритму:
1. Находим ОДЗ функции.
2. Находим производную функции
3. Приравниваем производную к нулю
4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 
, то функция 
возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции 
, то функция убывает на этом промежутке.
5. Находим точки максимума и минимума функции.
В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-".
В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".
6. Находим значение функции в концах отрезка,
§ затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
§ или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию 
.
График этой функции выглядит так:
В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.
|
|
|
1. Рассмотрим функцию на отрезке
Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка:
, а наименьшее - в левом: 
.
2. Рассмотрим функцию на отрезке
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и 
и выбрать из них наименьшее.
3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке 
, то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть и 
.
Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть 
и .
Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:
1. ОДЗ функции - множество действительных чисел.
2. 
3. 
, если 
или 
Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание - убывание, можно схематично изобразить ее график:
|
|
|
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 175; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!