Тема 1.3 Интегральное исчисление

Понятие неопределенного интеграла и его свойства

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех точек этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).

Если F(x) – первообразная для функции f(x) и С – некоторая постоянная, то (F(x) + C) также есть первообразная для f(x).

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество функций (F(x) + C), являющихся первообразными для f ( x ).

Обозначение:

Основные свойства определенного интеграла:

Таблица основных интегралов

Методы интегрирования

5.3.1. Непосредственное интегрирование. Нахождение интегралов

с помощью таблицы интегралов и основных свойств интеграла

Пример 1. Найти интеграл: .

Решение:

Согласно свойствам 1, 2, 3 интеграл примет вид:

По таблице интегралов находим:

Следовательно,

Обычно сумму всех неопределенных постоянных обозначают одной буквой:
С = С₁+ С₂ + С₃.

Пример 2.

Найти интеграл .

Решение:

Рассмотрим подынтегральную функцию .

Представим ее в виде композиции двух функций: степенной и линейной .

Согласно свойству 4 и формуле (1) таблицы интегралов, определяется интеграл:

Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция y = f ( x ) определена на отрезке [a; b].

Разобьем [a; b] на n равных частей точками: a = x₀< x₁< x₂<…< x_n_–1< x_n = b.

На каждом элементарном отрезке

[x_i; x_i_{+ 1}] выберем произвольную точку x_i
и обозначим .

Тогда называется интегральной суммой для функции f ( x ) на отрезке
[a; b].

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы функции при , стремящемся к нулю.

Обозначение:

Основные свойства:

4. Если a < c < b, то

Методы вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона — Лейбница:

Пример 4.

Вычислить интеграл

Решение:

Согласно свойствам 1, 2, интеграл запишем в виде

Применив формулу Ньютона — Лейбница, вычислим интегралы:

Следовательно, окончательно имеем

Ответ:3.

Вычисление определенного интеграла методом подстановки

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 1: Вычислить интеграл: