РАЗДЕЛ 2. Введение в теорию вероятностей
Элементы комбинаторики
Раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного множества элементов, удовлетворяющих заданным начальным условиям, и подсчет числа всех таких комбинаций, называют комбинаторикой.
В зависимости от правил составления комбинаций выделяют три типа:
1) размещения 
, где n!=1×2×3´…´(n – 1)×n, 0! = 1 
– число размещений из n элементов по k элементов;
2) перестановки Pn = n!, где Pn – число перестановок из n элементов;
3) сочетания 
, где 
– число сочетаний из n элементов по k элементов.
Пример 1.
Из предлагаемого набора цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 найти:
1) количество комбинаций всех двузначных чисел;
2) количество комбинаций всех шестизначных чисел, кратных 5.
Решение:
1. Согласно условию задачи, каждая комбинация включает две цифры из данного набора: комбинации 12 и 21 различны, потому что являются различными двузначными числами. Следовательно, комбинации относятся к типу размещений. Найдем число таких комбинаций.
Ответ: 30.
2. По признаку делимости чисел на 5 все шестизначные числа комбинации по условию задачи оканчиваются цифрой 5. Следовательно, вычислив количество перестановок цифр 1, 2, 3, 4, 6, найдем число всех комбинаций.
Ответ: 120.
Пример 2.
Найти, сколько диагоналей имеет выпуклый десятиугольник.
Решение:
Количество всех прямых, которые можно провести через вершины десятиугольника, есть число сочетаний из 10 точек по 2: 
|
|
|
Исключив из общего числа прямых количество сторон десятиугольника, найдем число его диагоналей: 45 – 10 = 35.
Ответ: 35.
Основные понятия теории вероятностей
Раздел математики, в котором изучаются случайные события и выявляются закономерности при их массовом повторении, называется теорией вероятности.
События, связанные с некоторым испытанием, при осуществлении которого либо происходят, либо не происходят, называются случайными.
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, называется испытанием.
События, которые имеют равные возможности произойти при испытании в данном комплексе условий, называются равновозможными.
Обозначение: А, В, С, Д,… – случайные события.
События называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти при данном испытании вместе. В противном случае события называются
совместными.
Полной системой событий (А1 А2 А3…) называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из них при данном испытании обязательно.
Два события называются противоположными, если они образуют полную систему событий. Обозначения: А – случайное событие, 
– событие, противоположное к случайному событию А.
|
|
|
Событие называют достоверным, если при испытании его наступление обязательно. Обозначение: U.
Событие называют невозможным, если при испытании его наступление невозможно. Обозначение: V.
Пример 1.
При стрельбе по мишени возможны следующие события:
А – поражение мишени,
В – промах по мишени,
С – выбито наибольшее число очков.
События А, В и С являются равновозможными;
события А и В – несовместными, противоположными, образующие полную систему событий: (А, В);
события А и С – совместными.
Число, которое выражает меру объективной возможности наступления случайного события, называется вероятностью этого события. Обозначение: P ( A ).
, где m – число исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А; n – число всех равновозможных и несовместных исходов.
Основные свойства:
1. 
2. 
3. 
Пример 2.
В группе студентов 16 девушек и 14 юношей.
Определить вероятность того, что оба вызванных наугад студента окажутся юношами.
Решение:
Обозначим А событие, которое состоит в том, что вызванные наугад студенты – юноши.
Тогда 
Следовательно: 
Ответ: 
.
|
|
|
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 210; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!