Основное уравнение вращательного движения

Исходя из уравнения моментов:

Аналогия с уравнением движение (вторым законом Ньютона).

Пример. Цилиндр скатывается по наклонной плоскости.

С учётом изображённых на рисунке сил, действующих на цилиндр, запишем конкретные уравнения системы:

Поступательное движение определено ускорением центра масс цилиндра:

Что касается линейной скорости центра масс и угловой скорости качения, то они растут по линейному закону:

9. Момент силы. Момент импульса МТ, системы МТ и твёрдого тела. Уравнение моментов для системы материальных точек и твёрдого тела.

(Опр.) Моментом силы N̄ относительно некоторой точки пространства О называется векторное произведение радиус-вектора r̄, проведённого из точки О в точку приложения силы, на вектор этой силы F̄:

Модуль момента силы

(Опр.) Моментом импульса M̄_i материальной точки ∆m_i относительно точки пространства О называется векторное произведение радиус-вектора r̄_i, проведённого из точки О к материальной точке, на импульс этой частицы ∆m_iV̄_i:

Модуль момента импульса

(Опр.) Моментом импульса твёрдого тела (системы МТ) относительно точки пространства О называется сумма моментов импульса отдельных элементов твёрдого тела относительно этой же точки:

Модуль момента импульса

Уравнение моментов

Рассмотрим движение частицы с номером «i» в некоторой ИСО с началом в точке О. По определению момент импульса этой частицы равен . Если взять производную от левой и правой части этого равенства, получим:

Первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку – это скорость частицы , а векторное произведение двух сонаправленных векторов всегда равно нулю. Второе слагаемое равно моменту силы , действующей на «i-ю» частицу. Ведь , а по определению. Таким образом, приходим к равенству .

Для каждой частицы системы можно написать «своё» уравнение моментов:

Просуммируем все левые и правые части уравнений. В правой части возникнут пары моментов сил . Они соответствуют внутренним силам равным и противоположно направленным друг другу по 3-му закону Ньютона. А значит можно утверждать, что суммирование даёт ноль. В правой части останется лишь сумма моментов внешних сил.

Левую часть можно записать как производную от суммы моментов импульса всех частиц, составляющих систему. Т.е. как раз того, что является моментом импульса системы материальных точек:

Скорость изменения момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов внешних сил, действующих на все частицы этой системы.

10. Момент силы. Момент импульса МТ, системы МТ и твёрдого тела. Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела.

Модуль момента силы

Модуль момента импульса

Для случая вращения относительно оси OZ запишем скалярную форму уравнения моментов . Разобьём твёрдое тело на малые элементы с массами , положение которых указывают радиус-векторы . При вращательном движении все точки тела характеризуются одним и тем же вектором угловой скорости , направленным вдоль оси вращения Z. Векторы линейной скорости и импульсов этих элементов перпендикулярны как оси Z, так и векторам .

(Опр.) Моментом инерции твёрдого тела относительно оси Z называется сумма произведений масс всех элементов тела на квадраты их расстояний до оси:

Элементы ТТ предполагаются настолько малыми по геометрическим размерам, чтобы расстояние от любой точки элемента до оси можно было считать одинаковым. С математической точки зрения это означает необходимость предельного перехода к бесконечно малым величинам и от суммы к интегралу:

При вращении вокруг закреплённой оси существует взаимосвязь осевого момента импульса твёрдого тела с его угловой скоростью:

Момент инерции играет роль меры инертности тела по отношению к вращению.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 157; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!