Замена переменной в двойном интеграле.
Пусть дан двойной интеграл по некоторой области D и пусть в области D выполняется условие 
. Предположим, что для любой пары x , y из области D данная система имеет единственное решение, тогда справедливо равенство:
, где I – якобиан перехода.
.
Двойной интеграл в полярных координатах.
Связь между декартовыми и полярными координатами:
, где 
.
Вычислим якобиан перехода
.
Таким образом, получаем равенство:
.
Замечания:
1) К полярным координатам удобно переходить в том случае, если область D ограничена дугами окружности и лучами.
2) При переходе к полярным координатам надо следить за тем, чтобы и границы области, и подынтегральная функция имели в полярных координатах простой вид.
3 случая расположения области D :
1) Полюс находится вне области D и любой луч, проведенный из полюса, пересекает границу области не более чем в двух точках.
.
2) Полюс находится внутри области D и любой луч, выходящий из полюса пересекает границу области только в одной точке.
.
3) Полюс находится на границе области.
.
Пример. Вычислить двойной интеграл 
, где 
.
, 
― окружность с центром (2;0) и радиусом R =2.
Построим область D.
Перейдем к полярным координатам.
Запишем уравнение окружности в полярных координатах:
: 
, 
, 
.
Запишем подынтегральную функцию в полярных координатах:
.
.
;
.
Применение двойного интеграла.
1. Вычисление объема цилиндрического тела.
|
|
|
Цилиндрическое тело ограничено областью D на плоскости ( x , y ), а сверху поверхностью z = f ( x , y ).
.
Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
x =0 – плоскость yz,
y =0 – плоскость zx,
z =0 – плоскость xy,
x =2 – плоскость, параллельная yz,
y =3 – плоскость, параллельная zx,
z = x 2 + y 2 – эллиптический параболоид – сверху.
.
;
.
2. Вычисление площади плоской фигуры.
Если фигура ограничена областью D на плоскости ( x , y ), то ее площадь: 
.
Пример. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
, 
, y = x, 
.
.
.
Перейдем к полярным координатам:
.
; 
3.Если поверхностная плоскость задается функцией 
, тогда с помощью двойного интеграла можно найти массу плоской пластины
, где D – область, которую занимает данная пластина.
Поверхности второго порядка.
I. Цилиндрическая поверхность.
1) Эллиптический цилиндр 
.
Направляющей является эллипс в плоскости xy, а образующие параллельны оси z.
2) Параболический цилиндр z = x 2
Направляющей будет являться парабола в плоскости xz, а образующие параллельны оси y.
3) Гиперболический цилиндр 
.
Направляющей является гипербола в плоскости yz, а образующие параллельны оси x.
|
|
|
II. Эллипсоид 
. Если а=в=с, то получаем сферу.
III. Двуполостный гиперболоид 
.
Плоскость xy данную поверхность не пересекает, т. к. получаем при z =0 
.
IV. Конус 
.
Плоскость xy данную поверхность пересекает только в начале координат.
V. Эллиптический параболоид 
.
Данная поверхность пересекает плоскость xy только в начале координат.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 163; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!