Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

КУРС ЛЕКЦИЙ

По дисциплине «Математический анализ»

Для студентов очной формы обучения

Раздел №4 «Кратные и криволинейные интегралы»

Волгодонск

Кратные интегралы.

Задача об объеме цилиндрического тела.

Определение: Пусть дана некоторая кривая L на плоскости и некоторая прямая а, не лежащая в этой плоскости. Через каждую точку кривой проведем прямую параллельную прямой а. Полученная поверхность называется цилиндрической поверхностью, причем кривая L называется направляющей, а прямая a – образующей.

Определение: Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное областью D в плоскости xy; цилиндрической поверхностью, у которой граница области D является направляющей, а образующие параллельны оси Z и поверхностью z = f ( x , y ).

Требуется найти объем полученного цилиндрического тела. Для этого используем правила:

1) Если тело разбить на не пересекающиеся части, тогда объем всего тела это сумма объемов всех частей;

2) Объем прямого цилиндра (цилиндрическое тело, ограниченное поверхностями z = h ₁ , z = h ₂ и цилиндрической поверхностью, образующие которого параллельны оси z) равен произведению площади основания на высоту.

Область D произвольным образом разобьем на п частей. - площадь i-ой части области D. На каждом участке разбиения произвольным образом выберем точку . Таким образом, искомое цилиндрическое тело разбили на п частей. Заменим объем i-го цилиндрического тела объемом соответствующего прямого цилиндра, у которого площадь основания равна , а высота . Тогда объем i-го прямого цилиндра . Тогда объем всего цилиндрического тела . Тогда .

Дадим общее определение, не связанное ни с какими характеристиками.

Определение двойного интеграла.

Пусть в плоскости xy задана некоторая область D, в каждой точке которой определена непрерывная функция f ( x , y ). Разобьем область D произвольно на п частей, обозначим - площадь i-ой части разбиения, на каждом участке разбиения произвольным образом выберем точку с координатами x_i , y_i и составим , которая называется интегральной суммой.

Если существует конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек, тогда данный предел называется двойным интегралом от функции f ( x , y ) по области D.

где f ( x , y ) – подынтегральная функция;

D – область интегрирования;

dS – элемент площади.

Свойства двойных интегралов.

1. .

Свойство справедливо для любого количества слагаемых.

2. .

3. Если , то .

4. Если в области D, тогда ,

S – площадь области D.

5. Теорема о среднем: В области D существует точка , в которой выполняется равенство: , S – площадь области D.

6. Если область D разбита на 2 непересекающиеся части D ₁ и D ₂ , тогда

Свойство справедливо, когда область D разбита на любое количество непересекающихся частей.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Разобьем область D на части прямыми, параллельными осям координат x = const , y = const, тогда части будут являться прямоугольниками.

, dS = dxdy .

Таким образом, получаем двойной интеграл по области D:

Определение: Область называется правильной в направлении оси х, если любая прямая параллельная этой оси пересекает границу области не более чем в 2-х точках.

Аналогично область является правильной в направлении оси у.

Если искомая область не является правильной, то ее нужно разбить на части, каждая из которых будет являться правильной в направлении данной оси.

Рассмотрим цилиндрическое тело.