Пример проведения корреляционно-регрессионного анализа

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 11Следующая ⇒

Определить уравнение связи между производительностью труда и рентабельностью предприятия. Вычислить коэффициенты корреляции между производительностью труда и рентабельностью предприятия. Проверить гипотезу о значимости отличия коэффициента корреляции от нуля. Считая связь между производительностью труда и рентабельностью предприятия линейной, построить уравнение связи между названными показателями, используя метод наименьших квадратов. Проверить гипотезу об отличии от нуля коэффициента регрессии. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Исходные данные приведены в таблице 2.1.

РЕШЕНИЕ:

Таблица 2.1 – Исходные данные для решения задания 2

Уровень рентабельности, млн. руб. ( Y)	Производительность труда, тыс. руб. ( X)
9,0	127
9,1	129
9,2	130
9,0	131
9,2	133
9,5	139
9,3	145
9,5	149
9,8	150
9,6	158

I ЭТАП (решение задачи с помощью метода наименьших квадратов)

Исходные данные и промежуточные расчеты (результаты) удобно свести в таблицу 2.2.

Таблица 2.2 – Исходные данные и промежуточные результаты

X ´Y

127

9,0

-12,1

146,41

-0,32

0,1024

1143,0

3,872

129

9,1

-10,1

102,01

-0,22

0,0484

1173,9

2,222

130

9,2

-9,1

82,81

-0,12

0,0144

1196,0

1,092

131

9,0

-8,1

65,61

-0,32

0,1024

1179,0

2,592

133

9,2

-6,1

37,21

-0,12

0,0144

1223,6

0,732

139

9,5

-0,1

0,01

0,18

0,0324

1320,5

-0,018

145

9,3

5,9

34,81

-0,02

0,0004

1348,5

-0,118

149

9,5

9,9

98,01

0,18

0,0324

1415,5

1,782

150

9,8

10,9

118,81

0,48

0,2304

1470,0

5,232

158

9,6

18,9

357,21

0,28

0,0784

1516,8

5,292

1391

93,2

1042,9

0,656

12986,8

22,68

; (2.4)

; (2.5)

. (2.6)

Расчет коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции используется для проверки гипотезы о наличии связи между исследуемыми показателями. Для вычисления коэффициента корреляции используется формула

, (2.7)

где – среднее значение произведения величин используемых показателей;

– среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве независимой переменной;

– среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве зависимой переменной;

s_х – среднеквадратическое отклонение величины Х;

s _y – среднеквадратическое отклонение величины Y.

Отобранная для анализа группа данных называетсявыборкой, а вся совокупность данных, из которых выделяется выборка, генеральнойсовокупностью.

Поскольку значения коэффициента корреляции определяются по выборочным данным и, следовательно, будут различными при рассмотрении различных выборок из одной и той же генеральной совокупности, значение коэффициента корреляции следует рассматривать как случайную величину.

Таким образом, может возникнуть ситуация, при которой величина коэффициента корреляции, рассчитанная по данным выборки, отлична от нуля, а истинный коэффициент корреляции равен нулю.

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение величины Х

, (2.8)

где n – число переменных.

1.2 Рассчитаем среднеквадратическое отклонение величины Y

, (2.9)

где n – число переменных.

Рассчитаем коэффициент корреляции

Вычислим ошибку коэффициента корреляции

, (2.10)

где S_r – среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента корреляции;

n – число переменных.

1.5 Рассчитаем величину t-критерия

Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле

. (2.11)

Расчетная величина t-критерия сопоставляется с табличной величиной, отыскиваемой в таблицах значений этого критерия при числе степеней свободы, равном (n-2) и заданной доверительной вероятности, которая обычно выбирается равной Р=0,95 или Р=0,99. В некоторых случаях вместо доверительной вероятности задается так называемый уровень значимости . Если расчетная величина t-критерия окажется больше табличной, то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если же расчетное значение критерия меньше, чем табличное, то коэффициент корреляции следует считать равным нулю.

Табличное значение t-критерия (при восьми степенях свободы и 95 % доверительной вероятности): t_таб = 2,306. Таким образом, t_r > t_таб, и, значит, коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

Таблица 2.3 – Промежуточные результаты

Коэффициент корреляции, r_xy	Среднеквадратическое отклонение Х, s_Х	Среднеквадратическое отклонение Y, s _Y	Ошибка коэффициента корреляции, S_r	Расчетное значение t-критерия, t_r	Табличное значение t-критерия, t_таб
0,78	10,76	0,27	0,13	6	2,306

Расчет уравнения регрессии

Для расчета коэффициента регрессии используем метод наименьших квадратов, суть которого состоит в том, чтобы подобрать такое аналитическое выражение зависимости между исследуемыми показателями, для которого сумма квадратов отклонений значений зависимой переменной Y, вычисленных по этому выражению от значений, определяемых по данным наблюдений, была бы минимальной, т. е.

, (2.12)

где – значение переменной в i-ом наблюдении;

– значение переменной, определенное расчетом при i-ом значении переменной Х;

n – число наблюдений.

Связь линейная, т. е.

, (2.13)

то задача отыскания уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициентов а и b, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений Y от фактических была бы минимальной.

, (2.14)

, (2.15)

Таким образом, уравнение связи между производительностью труда и рентабельностью предприятия имеет вид

. (2.16)

Величина b называется коэффициентомрегрессии. Так же как и коэффициент корреляции, коэффициент регрессии является случайной величиной, в связи с чем возникает необходимость проверки значимости его отличия от нуля. Эта проверка, так же как и в случае с коэффициентом корреляции, осуществляется с помощью t-критерия.

Проверим значимость коэффициента b.

Данные для расчета удобно свести в таблицу 2.4. Значения Y_РАСЧ определим из уравнения (2.16).

Таблица 2.4 - Исходные данные и промежуточные результаты

X	127	129	130	131	133	139	145	149	150	158
Y_РАСЧ	9,06	9,1	9,12	9,14	9,19	9,32	9,45	9,54	9,56	9,73
Y_ФАКТ	9,0	9,1	9,2	9,0	9,2	9,5	9,3	9,5	9,8	9,6
Y_Ф - Y_Р	-0,06	0	0,08	-0,14	0,01	0,18	-0,15	-0,04	0,24	-0,13
(Y_Ф - Y_Р)²	0,0036	0	0,0064	0,0196	0,0001	0,0324	0,0225	0,0016	0,0576	0,0169
S (Y_Ф - Y_Р)²	*0,1607*