Момент количества движения точки и механической системы.

 

Момент количества движения материальной точки

Относительно некоторого центра.

 

Точка С – произвольно выбранный центр.

 

Из статики известно: m _c F   r F –вектор момента силы.

 

По аналогии

k _c r q r m

Моментом количества движения материальной точки относительно некоторого центра называется вектор,равный векторному произведению радиуса–вектора, проведенного из данного центра в эту точку, на вектор количества движения точки.

 

Направление вектора k _c определяется правилом векторного произведения. Он всегда перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов r и q .

 

Модуль вектора момента количества движения определяется по формуле:

k c

r q sin

;

r m sin

;

r

q

r

Из чертежа следует, что h

r sin

;

r

Тогда k _c   m h qh ,где h –плечо вектора q .

 

Размерность:

k c r m sin		;			кг	м2
	r			,			в системе СИ
						с

 

Момент количества движения механической системы

(кинетический момент).

 

^K c   ^k c   ^r i ^m i i

 

28

 

 

Кинетический момент механической системы относительно некоторого центра есть вектор, равный геометрической сумме моментов количества движения всех материальных точек системы относительно данного центра.

 

Теорема об изменении момента количества движения

Материальной точки.

 

Теорема: «Векторная производная по времени от момента количества движенияматериальной точки относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех действующих на точку сил относительно того же центра»,то есть

 

dk		c
			m c F i .
dt

Предположим, что движение т. A происходит под действием силы F с ускорением a

.

 

 

Проведем из произвольного центра «С» в точку A радиус-вектор r . И еще уточним,

что сила F   F _i равнодействующая (гл. вектор) всех действующих на точку сил.

 

Определим момент силы F относительно этого центра по формуле из статики:

c (

)

m

F

F

(1)

m

r

r

a

c (

) всегда перпендикулярны плоскости

F

ADC и

направлен таким образом,

m

чтобы, наблюдая с конца его вектора, поворот под действием силы осуществлялся против хода часовой стрелки.

 

Определим также момент количества движения материальной точки A относительно центра C по формуле:

 

k c

m

(2)

r

q

r

Вектор k

c перпендикулярен плоскости

ABC.

Чтобы установить зависимость между моментом количества движения материальной точки k _c и моментом силы m _c (F ) , следует продифференцировать выражение (2) по времени:

 

29

dk c

d

d

r

m

r

m

,

dt

dt

dt

d

d

Здесь

r

;

.

a

dt

dt

Пользуясь этими выражениями, получаем

dk c

m

r

ma

dt

Так как угол

; m

0 , то тогда

c

dk

r

ma

(3)

dt

dk c

Сравнивая (1)

и (3), будем иметь

m c F

, но если на материальную точку

dt

действует

несколько

сил, то

c

F

следует

рассматривать

как момент их

m

равнодействующей. Заменим m _c F геометрической суммой моментов составляющих сил:

 

m _c F   m _c

Следовательно

 

dk c
			m c F i				(4)
dt

что и требовалось доказать.

 

Так как проекция векторной производной на любую ось равна производной от ее проекции на ту же ось, то, проектируя векторное равенство (4) на оси x, y, z, получим три равенства:

dk x				dk y				dk z
	m x F i ;				m y F i ;				m z F i
dt				dt				dt

 

---

Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 666; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!