Динамика вращательного движения твердого тела.

 

Момент инерции твердого тела относительно оси.

 

Пусть тело вращается под действием сил силы F₁^Е , F₂^Е , …, F _n ^Е . Рассмотрим произвольную точку M.

 

i ^r i

Количество движения этой точки q _i  m _{i i}  m _i r _i

 

Запишем момент количества движения этой точки относительно оси вращения z:

k

iz

m

r

m

r 2

J

z

i

i i

i

i

Запишем кинетический момент твердого тела относительно оси z

K

z

k

iz

m

r 2

J

z

,

i

i

где

J

z

m r 2

– момент инерции твердого тела относительно оси z (динамический

i i

момент инерции).

 

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется особая скалярнаявеличина, равная сумме произведений масс всех материальных точек этого тела на квадрат их расстояния до оси (точки).

 

Момент инерции точечной массы определяют по формуле:

J _z m r ²

где m – масса точки, r – расстояние от точки до оси вращения.

Размерность:

J _z m r ² кг м² – в системе СИ

 

Радиус инерции.

 

Пусть M – масса тела, J _z –его момент инерции.

 

33

 

Тогда радиус инерции определится из формулы:

 

J z М	2	, то есть		J z
				M

Радиусом инерции твердого тела относительно некоторой оси называется торасстояние от этой оси, на котором необходимо поместить материальную точку, обладающую массой всего тела, так, чтобы момент инерции этой точечной массы относительно данной оси был равен моменту инерции твердого тела относительно этой же оси.

 

Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг

Неподвижной оси.

 

Запишем кинетический момент твердого тела относительно оси вращения

K _z  J _z ,

 

то есть кинетический момент вращающегося твердого тела относительно неподвижной оси его вращения равен произведению угловой скорости тела на момент инерции тела относительно той же оси.

 

Рассмотрим изменение кинетического момента тела относительно оси z под действием приложенных к нему задаваемых внешних сил F₁^Е , F₂^Е , …, F _n ^Е . Теорема об изменении кинетического момента механической системы выражается:

dK z				E
	m z F i				(1)
dt

или

d J z			E
	m z F i
dt

 

Реакции подшипника B и подпятника A являются внешними силами, но при отсутствия трения их моменты равны нулю, и правая часть уравнения (1) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения.

Так как

J

d

m

E

F

(2)

dt

z

z

i

J

d2

m

E

F

(3)

dt 2

z

z

i

Выражения (2) и (3) представляют собой дифференциальные уравнения соответственно 1-го и 2-го порядка.

 

Если сравнить дифференциальные уравнения (2) и (3) с дифференциальным уравнением для поступательного прямолинейного движения тела:

 

34

	d2 X C	E
m		X i	,
	dt 2

где Х _С –координата центра масс.

Очевидно, что момент инерции J _z при вращательном движении твердого тела имеет

 

такое же значение, какое имеет масса тела при его поступательном движении. Следовательно, момент инерции является характеристикой инертности тела при

 

вращательном движении.

 

Из анализа дифференциальных уравнений (2), (3) вращательного движения можно заключить:

m

E

0 , то

d2

0 – тело вращается ускоренно;

1.

Если

z

F

i

dt 2

m

E

0 , то

d2

0 – тело вращается замедленно;

2.

Если

z

F

i

dt 2

m

E

0 , то

d2

0 , тогда

const ,т.е.вращение тела

3.

Если

F

z

i

dt

2

равномерное (по инерции).

 

---

Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 276; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!