Дифференциальные уравнения движения материальной точки

В векторной форме.

 

Пусть

т. М движется под действием

сил

F1, F2, F3по некоторой траектории

М 0 М М1

по закону

t;

F i

,

где

– радиус-вектор точки М. Заменим силы

r

r

r

,

,

k

F

F

F

их равнодействующей

,

. Запишем основной закон

F

F

F

F

F

1 23

1

2

3

i 1

i

динамики в виде m a   F _i .

 

			d				d 2
Из кинематики известно, что								r		.
	a
			dt				dt 2

Тогда, подставляя значение a в основной закон динамики, получим:

m

d

F

(1)

dt

i

d 2

r

m

F

(2)

dt 2

i

Уравнения (1) и (2) и представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в векторной форме. Причем уравнение (1) – первого, а уравнение (2) – второго порядка.

 

Дифференциальные уравнения движения материальной

Точки в декартовых координатах.

 

т. М движется под действием сил

Пусть

F1, F2, F3

по некоторой

траектории

М

М М

,

,

k

.

F

F

F

их равнодействующей

,

0

1

Заменим силы

F

F

F

F

F

1 23

1

2

3

i 1 i

Запишем основное уравнение динамики в виде

 

m			F i	(1)
	a

 

7

Спроектируем это уравнение на оси координат, тогда получим

m a x

X i

, m a y

Y i , m a z

Z i

(2)

Из кинематики известно, что

a x

d x

d 2 x

,

a y

d y

d 2 y

, a z

d z

d 2 z

(3)

dt

dt 2

dt

dt 2

dt

dt 2

Тогда, подставляя значения a х , a y ,

a z в(2),получим:

m

d

x

X i

m

d 2 x

X i

dt

dt

2

m

d

y

Y

(4)

m

d 2 y

Y

(5)

dt

i

dt 2

i

m

d

z

Z i

m

d 2 z

Z i

dt

dt

2

Уравнения (4) и (5) и представляют собой Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах соответственно первого и второго порядков.

 

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

В естественной форме (форме Эйлера).

 

Пусть т. М движется под действием сил F₁, F₂ , F₃ . Заменим силы F₁, F₂ , F₃ их равнодействующей

 

,

k

F

F

F

F

F

(1)

1

2

3

i 1

i

Возьмем естественные оси координат Т, N, B затем покажем единичные орты  n β .

 

Движение точки описывается в естественной форме в виде закона S					f t,,где S –
дуговая координата,– радиус кривизны траектории.
Запишем основное уравнение динамики
m
			F		(2)
	a

Спроектируем это уравнение на оси естественной системы координат:

m aF , m a n F n , m a F

(3).

Из кинематики известно, что a 0 , то и F 0

 

dS 2

d

d 2 S

2

a

;

a n

dt

.

dt

dt 2

 

8

Тогда, подставляя значения a , a _n , a в (3), будем иметь:

 

Дифференциальные уравнения в форме Эйлера

m

d

F

m

d2S

F

dt

dt

2

1-го порядка

2-го порядка

2

dS 2

m

F n

m

dt

F n

Эти дифференциальные уравнения используются в том случае, если известно уравнение траектории точки.

 

Две основные задачи динамики точки.

 

В динамике точки рассматриваются две основные задачи: прямая и обратная или первая и вторая.

 

Первая прямая задача динамики.

 

Известны уравнения движения точки в некоторой системе координат x   f₁ t ;

y f₂ t ; z   f₃ t и известна ее масса m .

 

Найти действующую на тело силу F.

Эта задача решается в следующей последовательности:

Выполняют рисунок.

 

По уравнениям движения точки находят проекции скорости на оси Координат

 

	dx	;		dy	;		dz	.
x	dt		y	dt		z	dt

Определяют проекции ускорения точки на оси координат

 

a _x ^d_dt^x ; a _y ^d_dt^y ; a _z ^d_dt^z .

 

Определяют проекции силы на оси координат, используя основное уравнение динамики в координатной форме

F x	ma x ; F y		ma y ; F z ma z .
Определяют модуль силы F		F 2	F 2	F 2.
		x	y	z

Определяют направление силы по направляющим косинусам

 

---

Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 419; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!