Вынужденные колебания. Резонанс.
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.
Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом.
Механическая система
Под механической системой понимается совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.
Масса системы
Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему
.
Момент инерции тела относительно оси
Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:
Радиус инерции
Осевые моменты инерции для твердых тел в некоторых случаях задают при помощи массы и радиуса инерции такого тела. Обычно радиус инерции обозначают буквой 
, но могут встречаться и другие обозначения. Для того чтобы не путать радиус инерции с плотностью вещества радиус инерции идентифицируют при помощи индекса, например пишут: 
. Особенно часто радиус инерции применяют для выражения осевых моментов инерции тел, имеющих сложную форму.
Дифференциальные уравнения движения системы
Рассмотрим пример интегрирования системы для простейшего случая, когда 
.
|
|
|
Пусть груз массой 
на пружине с жесткостью 
совершает колебания в вертикальном направлении под действием вынуждающей силы, проекция которой на ось 
:
Определить, при каких условиях эти колебания можно погасить за счет крепления к первому грузу второго с массой 
через пружину с жесткостью 
.
Учитываем силы, действующие на обе массы за счет удлинения пружин, отсчитываемого от положения статического равновесия каждого груза.
Тогда первый груз движется под действием силы упругости пружины с коэффициентом жесткости , пружины с коэффициентом жесткости , расположенной между телами, и вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение движения первого груза в проекции на ось 
имеет вид:
Второй груз движется только под действием пружины с коэффициентом жесткости 
, и дифференциальное уравнение движения его будет иметь вид:
Решать эту систему уравнений нужно совместно. При этом нас интересует случай гашения колебаний первого груза, т. е. условия, когда 
. При выполнении этого условия уравнения движения принимают вид:
Из первого уравнения выражаем 
, дважды дифференцируем и подставляем во второе. После сокращения получим:
|
|
|
Это и есть условие гашения колебаний – его можно выполнить, подбирая либо массу, либо жесткость пружины, либо то и другое. При этом слишком малое значение массы 
(из требования минимума дополнительного веса) может привести к малому , а это даст очень большую амплитуду колебаний дополнительной массы.
Решение такого рода задач при количестве масс 
, как отмечено выше, возможно только в некоторых исключительных случаях. Поэтому далее рассматриваем движения системы как некоторого целого образования, так что определим закон движения центра масс системы.
Возьмем за основу систему уравнений (1) и почленно сложим ее левые и правые части – получим уравнение (2).
Формула радиуса-вектора центра масс имеет вид: 
Беря вторую производную от обеих частей этого равенства, получим в уравнении (2): 
Запишем теорему о движении центра масс системы:
Проектируя это уравнение на оси системы координат, получим:
, 
, 
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 199; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!