Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку (геометрическая картина движения тела, угловое ускорение)
Процесс движения тела вокруг неподвижной точки можно представить как последовательность элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения.
Мгновенная ось представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.
Для определения вектора 
найдем его проекции на подвижные оси Oxyz (рис. 4.3). Вектор можно представить в виде
Рисунок 4.3
 ,
| (53) |
где численно
| (54) |
Проектируя обе части равенства (53) на оси x , y, z, получим:
 ,  ,  .
| (55) |
Проекции векторов 
и 
находим сразу [см. рис. 4.3 и обозначения (54)]:
, 
; 
, 
, 
.
Для определения проекций вектора 
проведем через оси 
и 
плоскость, которая пересечется с плоскостью 
вдоль линии OL. так как линия ОК перпендикулярна плоскости 
, то она перпендикулярна и линии OL ( 
а 
. Тогда, проектируя вектор на линию OL, а эту проекцию в свою очередь на оси Ох и Oy, получим:
, 
, 
.
Подставляя все вычисленные проекции в правые части равенств (55), найдем окончательно
| (56) |
Уравнения (56) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они определяют проекции вектора угловой скорости тела на подвижные оси 
через углы Эйлера; тем самым определяется и вектор .
Аналогично можно найти проекции вектора на неподвижные оси 
. Соответствующие формулы имеют вид
| (57) |
При сферическом движении тела положение мгновенной оси вращения со временем изменяется, а, следовательно, изменяется не только модуль, но и направление вектора угловой скорости.
|
|
|
Изменение вектора характеризуется векторной величиной
 ,
| (58) |
называемой угловым ускорением тела в данный момент времени или мгновенным ускорением.
При изменении вектора его конец А будет описывать в пространстве некоторую кривую AD, являющуюся годографом вектора (рис. 4.4). Тогда сравнивая выражение углового ускорения 
с равенством 
, приходим к выводу, что ускорение
Рисунок 4.4
можно вычислить как скорость, с которой конец вектора перемещается вдоль кривой AD. В частности, направление совпадает с направлением касательной к кривой AD в соответствующей точке. Следовательно, в данном случае, в отличие от случая вращения вокруг неподвижной оси, направление вектора не совпадает с направлением вектора .
Векторы и являются основными кинематическими характеристиками движения тела, имеющего неподвижную точку. Их можно определить аналитически, зная уравнения движения (52).
Значения можно найти и геометрически.
Используя равенства (57), можно определить проекции на неподвижные оси вектора . Так как значение дается формулой (58), то
 .
| (59) |
Эти проекции и определяют вектор . Таким образом, зная уравнения движения (52), можно по полученным формулам найти и .
|
|
|
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!