Второе издание,исправленное и дополненное



Редактор серии Б.И.Кудрин

Ответственный за выпуск Петрова Г.А.

-------------------------------------

Подписано к печати 17 ноября 2003 г. Заказ 033

Отпечатано в типографии «КСИ», тел./факс (812) 540-64-39, e-mail: oooksi@ksi.spb.ru

Формат 60х84 1/16. Печ. л 18. Тираж 300 экз. Цена договорная


(*) Так полагал еще в диссертации 1846 г. П.Л. Чебышев: "Наука о вероятностях, известная под именем теории вероятностей, имеет предметом определение вероятности события по данным его связи с событиями, которых вероятности известны" [Майстров, 1980, c. 181].

 

(*)См. например, примечания редактора (весьма, замечу, доброжелательного) к моей работе [Чайковский, 1996], где он предлагает читателю искать обсуждение "глубокого вопроса о связи математической теории вероятностей с явлениями реального мира" в книгах, в которых об этом нет практически ничего. Например, в знаменитой монографии Колмогорова (1933 г.), недавно переизданной. Замечу, что сам Колмогоров, обсуждая эти темы, к ней не отсылал. Наоборот, в предисловии ко второму изданию монографии он предлагал читать его работу 1956 г., отмечая: "Но и здесь оставались невыясненными причины того, почему мы так часто встречаемся на практике с устойчивостью частот", после чего отсылал к работам по алгоритмической ТВ [Колмогоров, 1998, c. X].

 

(*)Плеоназмы, т.е. речевые излишества (в данном случае – конъюнкция синонимов) довольно характерны для раннегреческой поэзии (Архилох творил в середине -VII века). Теизм – обозначение для любой религии, признающей божество в качестве управляющего всеми явлениями.

 

(*)Ранее Платон мечтал о селекции граждан под руководством правителей (Государство, 415bc; 459de; 468c; 546d). Но кто будет отбирать самих правителей? Тут был риск, и потому успех мыслился как случайный.

 

(**)Этот тезис заимствован ими у позднего Платона (Тимей, 44d).

 

(*) В лат. оригинале aptitudo (от apto – прилаживать). Переводить его словом предрасположение неверно, поскольку оно несёт на нынешнем языке (после К.Поппера) отсутствующий в оригинале вероятностный смысл.

 

(*) Т.е. заменяя идею предрасположенности идеей равновозможности. Первым на необходимость учета вероятностей выигрышей в несыгранных партиях фактически (не применяя понятия вероятности) указал Джироламо Кардано, младший современник Луки [Пачоли, 1994, c. 200].

 

(*) У Бейля: la courte paille (буквально: короткая соломинка – термин из идиомы "tirer a la courte paille" – тянуть жребий).

 

(*)Хакинг имел здесь в виду только вероятность математическую, ибо сам упоминал в той же книге более ранних философов вероятности, начиная с Фомы Аквинского, касавшихся логической и моральной вероятности, но не частотной и не априорной.

 

(*)Так, Бернулли [1986, c. 39] писал о подлогах: "Из 50 нотариусов едва ли найдется один, который дерзнул бы совершить такую гнусность". Казалось бы, дается оценка вероятности иметь дело с бесчестным нотариусом, но автор повернул аргументацию в другую сторону – привел доводы в пользу лживости данного нотариуса и заключил: "Ибо если я полагаю нотариуса бесчестным, то тем самым полагаю, что он... есть именно тот пятидесятый". Для тогдашних сочинений характерно, что первейший вопрос – возможен ли нотариус, постоянно совершающий подлоги – не поставлен.

 

(*)Достаточно задать вопрос: к акту, происходящему в природе (внешней по отношению к ученому), или к акту познания (производимому ученым) – и станет ясно, что надо говорить о различных явлениях, а не просто о различных пониманиях. У Бернулли такой вопрос не задан.

 

(*)Замечу, что тенденция, т.е. нечеткая, хоть и очевидная закономерность, является важным понятием диатропики [Чайковский, 1990]. Мы обратимся к тенденциям в главе 8.

 

(*)Таблицей названа записанная в строку конечная последовательность (цепь) нулей и единиц.

 

(*)"...Одной из важнейших задач задач философии естественных наук, после разъяснения пресловутого вопроса о сущности самого понятия вероятности, является выяснение и уточнение тех предпосылок, при которых можно какие-либо данные действительные явления рассматривать как независимые. Этот вопрос выходит, однако, за рамки данной книги".

 

(*)Локальную форму хорошо иллюстрирует рис. 1: гауссоида близка к плотности биномиального распределения.

 

(*)Курьезность ситуации не в самом обращении к опыту, а в обращении дважды – как априори, при постулировании устойчивости частот и прочих исходных положений ТВ, так и в ходе рассуждений.

 

(*) Но не эквивалентна, поскольку серия бросаний монеты невоспроизводима. Это различие будет объяснено в рамках двойственной концепции частоты и меры в конце главы 5. Серия начальных точек лоренцова процесса сопоставлена серии бросаний.

 

(*)Счётным называется бесконечное множество наименьшей мощности. (Мощность – обобщение понятия числа элементов на бесконечные множества.) Счетными являются: множество натуральных чисел, множество рациональных чисел, множество алгебраических чисел (являющихся корнями квадратных, кубических и т.д. уравнений с целыми коэфициентами) и др. См. любое введение в теорию множеств, например [Шилов, 1960]. Счетная вероятность – дробь с бесконечным числом знаков после запятой.

(*)Почти всякое означает, что данное свойство может нарушаться лишь на множестве нулевой меры.

(*)Позвольте делать, позвольте [событиям] происходить (франц.) – девиз крайних сторонников "рыночной экономики" XVIII века. – Ю.Ч.

 

(*)С.Д. Хайтун [1999] полагает, и видимо справедливо, что энтропия мерой беспорядка не является. Одни видят в энтропии меру беспорядка, другие – меру разнообразия; одни ищут ее минимум, другие – ее максимум. Серьезных обоснований при этом обычно не бывает, но как бы то ни было, энтропия – существенный инвариант, который нельзя игнорировать при случайностном анализе систем.

 

(*)Практически мы всегда имеем дело с конечными выборками, и тут феномен бесконечной дисперсии случайной величины проявляется в том, что относительная дисперсия неограниченно растет с ростом выборки.

 

(*)Двойственность выступает как математическое описание дополнительности (там, где оно возможно).

 

(*)Начиная с 1960-х годов стали появляться работы об интересном (и даже хаотическом) поведении этого преобразования на вещественной оси при a, взятых из отрезка [—2; 1/4] – см. [Lyubich, 2000]. Но и тут разнообразие семейства кривых на вещественной плоскости (x0, a) не идет в сравнение с таковым семейств на комплексных плоскостях.

(*)Модификация теории множеств для обоснования нестандартного анализа существует уже в двух видах [Кановей, 2001].

(*)Никакого иного определения фрактала не дано. В комментарии к этому месту Б.В. Чириков отметил, что термин "странный аттрактор" неудачен, поскольку такие аттракторы вполне обычны, и что "фрактальная структура хаотического аттрактора не является универсальной, это может быть, например, просто тор".

 

(*)Историк математики Е.А. Зайцев высказал мне уверенность, что под произвольной последовательностью Кантор подразумевал произвольную закономерность; при этом просматривать ряд не надо. Возможно, но тогда доказано лишь, что никакая формула не охватит всех чисел.

 

(*)"Конструктивистская точка зрения – в противоположность метафорической – та, что имеется по меньшей мере надежда, что если обучающая математика имеет дело с изготовлением мысленных конструкций, мы можем пытаться понять, какими эти конструкции могут быть, и искать какие-то пути (такие, как компьютерные программы...) помочь студентам создать эти конструкции" [Dubinsky, 1999, c. 557].

 

(**)Ведущий интуиционист голландец Аренд Гейтинг отрицал, что континуум можно составить только из таких чисел, каждое из которых "определяется законом, который по любому натуральному n дает полное предписание для вычисления n-го члена последовательности", и предлагал включать в континуум все числа, определяемые бесконечно продолжающимися последовательностями, причем "безразлично, каким образом определяются члены последовательности, посредством ли закона, свободным ли выбором, жребием или как-нибудь иначе" [Гейтинг, 1965, c. 43]. Как видим, к построению континуума привлечена случайность.

(*)Видимо, речь идет либо о цепи исходов для идеальной монеты, которую он называет равномерно распределенной (в гл. 3 мы называли это равновозможностью раскладок), либо о случайности по Колмогорову.

 

(*)Перемешивание как раз и ведет к жесткой псевдослучайности.

(*)Следуя работам С.Д. Хайтуна, будем называть гауссовыми в широком смысле распределения, имеющие конечные дисперсии (или, что по сути то же самое, "тонкие хвосты").

 

(*)Линейной комбинацией называется сумма, в которой слагаемые могут входить с различными коэффициентами. Поскольку в нашем случае все коэффициенты могут равняться 1, мы будем рассматривать просто суммы, но класс устойчивых распределений найден путем решения функционального уравнения для функций распределения, а это невозможно без выявления области возможных значений коэффициентов. Простое изложение см. [Золотарев, 1984, c. 25-27]. Тем самым, искомый класс найден приемом функционального анализа (как в свое время Гаусс нашел нормальное распределение), безотносительно к какой-либо теории случайности.

 

(*)Ранговым называется распределение, в котором значения случайной величины расположены в порядке их убывания.

 

(*) На этот факт мое внимание любезно обратил С.А. Иванов.

 

(*)Доверительный интервал (см. о нем любой курс статистики) играет в математической статистике ту же роль, какую в ЗБЧ (в трактовке Пуассона и позже) играет вероятность Р, с которой справедлива оценка вероятности р. Отказаться от доверительного интервала – значит отказаться от толкования объективной вероятности через субъективную.

 

(*)Таксон – это класс объектов, а мерон – класс их частей. Каждая птица имеет клюв, а таксон "птицы" имеет мерон "клювы"; в этот мерон входит и клюв утконоса (млекопитающее). Наоборот, для таксона "пресмыкающиеся" обычен мерон "лапы", но у змей лап нет. Мерон, строго соответствующий таксону – редкость (позвоночник у позвоночных, цветок у цветковых и т.п.).

 

(*)Это видят и Шноль с соавторами; они именуют алеатические аргументы арифметическими. Они надеются вывести отороченную гауссоиду из механизма многостадийного химического (но, замечу, не радиоактивного!) процесса и выявления комбинаторики взаимодействий [Шноль и др., 1998, c. 1137]. На мой згляд, надежда напрасна – таким путем можно получить нечто вроде биномиальной плотности (как сделал 300 лет назад Я. Бернулли), а она одновершинна. Суть надо искать глубже.

 

(*)Со своей теорией Марбе выступал и позже [Marbe, 1934] и вызвал обширную полемику, ныне забытую.

 

(*)Гипербола имеет здесь место только для числа словоупотреблений (ранговое распределение), а для числа слов с данной частотой налицо квази-гипербола с областью локальных максимумов на частотах, соответствующих словам, встретившимся 27 до 88 раз, а также с несколькими отдельными небольшими всплесками.

 

(*)(*) Иную точку зрения утверждал В.В. Налимов [1977]. В ее основе лежал постулат, что каждый человек имеет для каждого слова некий набор вероятностей смыслов, и между ними выбирает, строя смысл услышанной фразы. На мой вопрос: в каком смысле тут понимать термин "вероятность" – Налимов ответил: в столь же нечетком, как и все слова в его модели языка (январь 1977 г.). Мне остается заметить, что Налимов всюду отстаивал "вероятностное мышление", ссылаясь в этом на Колмогорова [Налимов, 1989, c. 9], т.е. пытался всё решить в терминах первой и третьей ПМ, тогда как сам размышлял над проблемами целостности.

 

(*)Не проведено различия между обсуждаемой тут устойчивостью случайного процесса (сходимостью его, несмотря на возмущения, к стационарному состоянию, т.е. к устойчивой частоте) и устойчивостью распределения неустойчивых частот, изучаемого на других страницах.

 

(*)Формально говоря, в стохастической траектории (например, у странного аттрактора) любой знак в значении начальных условий на каком-то витке траектории окажется определяющим поведение, но фактически всякий объект включен в какую-то систему, влияние которой скажется раньше, чем далекий знак в начальных условиях самого объекта.

 


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 130; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!