Глава 10. К философии случайности
Теория динамического хаоса хорошо резюмируется словами: "Чем движение неустойчивее, тем устойчивее проявляются в нем статистические закономерности" [Синай, 1981, с. 80; Chaos, 1992, c. 87, 404]. Естествен и обратный ход мыслей – чем ближе неустойчивое движение к границе устойчивости, тем менее устойчивы статистические законы, однако ход этот, насколько знаю, математиками пока не сделан. Поэтому сперва рассмотрим (в первых двух параграфах) область знаний об устойчивых частотах, а затем обратимся к неустойчивым.
К философии вероятности
Что реальнее, что больше соответствует реальному явлению, именуемому "вероятность", – мера или частота? Как верно отметил Скороход (в обзоре, рассмотренном ранее, в п. 5-7), вопрос "что реально" ведет, в сущности, начало от Платона: для него идеи были реальнее объектов, поскольку сами объекты он мыслил как реализацию идей. (Хотя, как сказано в главе 1, как раз в отношении случайности Платон высказался иначе – случайно то, что не есть реализация идеи.) Для Скорохода реальнее мера – как идея абстрактной частоты, но эту позицию он никак не аргументирует, а мы в главе 7 видели, что понятие частоты шире.
Платонизм очень распространен среди математиков. Более того, есть мнение, что всякий настоящий математик – платоник, ибо занят идеями, существующими до и вне объектов наблюдаемой природы. В целом это верно, но мы теперь знаем об абстрактных понятиях больше Платона и потому оставаться в понятийных рамках платонизма не имеем права.
|
|
|
По Аристотелю, идея рода есть то общее, что имеется у всех предметов данного рода. Такое понимание идеи представляется мне дополнительным платоновскому – в том же смысле, в каком у Канта были дополнительны причинный и целевой подходы. В аристотелевском смысле вероятность-мера существует лишь потому, что существуют частоты, для которых она служит чем-то общим. С этой позиции реальнее частота.
Однако традиционное противопоставление Платона Аристотелю не представляется мне продуктивным. Даже если оставаться в рамках античной классики, то следует вспомнить ранних стоиков, у которых в центре теории познания было понятие каталепсис – цельное интуитивное схватывание сути познаваемого. (приведенный в п. 8-1.1 афоризм Линнея является указанием на каталепсис.)
Каталепсису нет аналога ни у Платона, ни у Аристотеля – первому оно не было нужно, поскольку идея не ухватывается, а попросту считывается умом, к этому годным, из мира идей; а для Аристотеля познание было слишком логическим. Стоики на 2 тысячи лет обогнали свою эпоху – их каталепсис нашел аналог, по-видимому, лишь сто лет назад, в трудах логика и психолога Г. Фреге [Степанова, 1995, c. 59].
|
|
|
Вернемся к упомянутому в конце главы 5 "абстрактному двойнику", к тому, что одни считают первичной частоту, другие – меру. Теперь ясно, что здесь нет нужды принимать чью-то сторону, поскольку вероятность как меру удобно считать взаимодополнительной к вероятности, понимаемой как абстрактный предел частоты (со сделанными в п. 2-7 оговорками). Вероятность как инвариант некоторого событийного пространства, для которого сформулировано понятие равновозможности (вообще говоря, это — скрытая равновозможность) есть не более чем способ говорить об одном классе случайностей — о стохастичности. О ней можно говорить и иначе, как об устойчивой частоте.
С этой позиции, каталепсис явления "вероятность" состоит, по-моему, в интуитивном осознании двойственной сути вероятности. В тех явлениях, где можно придать этим словам аккуратный смысл, цитированные слова Кайберга об "абстрактном двойнике" получают реальный смысл: двойник действительно "ведет себя лучше" в том смысле, что сходится к пределу.
Как пишет конструктивист Н.М. Нагорный [1996, c. XI, XX], канторовские объекты существуют в мире идей, тогда как интуиционистские – в познающем субъекте. Если я это правильно понимаю, то теория множеств Кантора выступает как чистый платонизм, в отличие от скорее аристотелевской позиции интуиционизма. Интуиционисты (и особенно их радикальное крыло, конструктивисты – см. п. 6-5.1) видят одной из своих задач противостояние платонизму [Perspectives..., 1998, c. 129, 139, 245, 251]. Пусть в целом приветствовать это намерение трудно – мне платоновская основа математики несомненна, – но некоторый смысл в нем очевиден.
|
|
|
По-моему, приемлемое для огромного большинства решение лежит вне этой дилеммы и легко видно в плоскости стоицизма: континуум можно понять интуитивно, но не как совокупность точек (это ведет к противоречиям, вряд ли устранимым в принципе [Нагорный, 1996, c. XV-XVI]), а как непрерывную целостность; что касается находящихся в ней точек, то лучше всего понимать их множество по Мартин-Лёфу ("среда свободного становления"). Взаимодополнительность этих пониманий стала ясна мне в ходе общения с А.Н. Паршиным.
Эргодичность и перемешивание
Эргодичность, т.е. утверждение о равенстве реальных средних величин и некоторых абстрактных средних по воображаемым фазовым объемам, представляется мне очень красивой, но совершенно ложной идеей классической физики. Тот факт, что на основе идеи эргодичности была построена статистическая физика, не должен вводить в заблуждение – дело в том, что на самом деле объекты, описываемые на языке эргодичности, обладают другим, вполне реальным, свойством, обеспечивающим вероятностную случайность, – свойством перемешивания.
|
|
|
Перемешивание – фактически наблюдаемый процесс, распространенный далеко за пределами физики и обеспечивающий стохастичность самых различных явлений. Там, где перемешивание свободно, стохастичность устанавливается быстро и затем господствует. В социальной жизни таково, например, заражение при эпидемиях. А где перемешивание затруднено, там стохастичность оттеснена на периферию социальной жизни. Так, в силу обособленной жизни и малого числа смешанных браков, евреи сохранились как этнос в течение двух тысяч лет диаспоры.
Связь эргодичности и перемешивания подробно рассмотрена в книге Заславского [1984], откуда приведу одну иллюстрацию: на рис. 18 символически изображены фазовые траектории при эргодическом движении (а) и при движении с перемешиванием (б). Как видим, заполнение фазового объема в первом случае происходит постепенно – так же, как чертежник заполняет поле штриховкой (а заполнив, движется назад, добавляя новые линии между прежними); так что поле почти все время заполнено траекториями выборочно. Наоборот, при перемешивании поле почти сразу оказывается заполненным приблизительно равномерно. Часто пишут, что оба метода эквивалентны, но надо бы еще добавлять, что эквивалентность достигается лишь в пределе, тогда как при реальных временах перемешивание гораздо эффективнее.
Более того, эргодическое описание может оказаться фикцией на любых конечных временах. Так, каждая траектория симметричного случайного блуждания на прямой (п. 7-3.1) при любой конечной длительности игры почти всё время демонстрирует значительное отклонение от начала блуждания, тогда как среднее по различным играм почти всегда будет близко к нулю. Это хорошо разъяснено у Феллера [1964, c. 384].
Эргодичность видится мне полезным понятием только там, где она выводится из реальных свойств объекта, например, из перемешивания. Такова эргодичность марковских цепей, где среднее по времени может приближаться к среднему по фазовому объему быстро.
Мировоззренческое значение идеи эргодичности видится мне в том что она являет собой неосознанную разновидность сравнительного метода. Принято считать, чтонаблюдение одновременно существующих объектов позволяет раскрыть их развитие во времени. Так, в астрономии эволюция звезд исследуется путем анализа разных звезд и допущения, что они суть различные стадии единого эволюционного процесса. Аналогично, говорят, что наблюдение ныне живущих организмов разных таксонов демонстрирует эволюцию объединяющего их таксона во времени. Например – что наблюдение строения рыб, земноводных, пресмыкающихся и млекопитающих раскрывает ход эволюции от первых к последним. Сравнительный метод весьма полезен, но может и приводить к грубым ошибкам [Чайковский, 1994a, c. 206].
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 189; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!