Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Обратная матрица

 может быть построена по следующей схеме:

det A - определитель матрицы А;

Если , то матрица называется невырожденной, а в противном случае – вырожденной.

Обратная матрица может быть построена только для невырожденных матриц.

Свойства обратных матриц.

1) (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

       Пример. Определить ранг матрицы.

~ ~ , RgA = 2.

Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли (формулировка). Правило Крамера.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: ,                               

где a_ij – коэффициенты, а b_i – свободные члены ур-ий. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

       Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

       Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А =  называется матрицей системы, а матрица

А^*=  называется расширенной матрицей системы.

Определение. Если b ₁ , b ₂ , …, b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем.

К элементарным преобразованиям относятся:

Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

Перестановка уравнений местами.

Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли.

(условие совместности системы)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA ^* .

Следствие. Если ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, то система не совместна.

Метод Крамера.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

---

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 261; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!