Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n -ого порядка и его вычисление.
Определение. Определителем 2го порядка называется число, записываемое в виде и равное:
- указывает на строку, 
- указывает на столбец.
Определение. Определителем 3го порядка называется число, записанное в виде и равное:
Определение. Определитель порядка выше 3го – определитель n -го порядка – считаются с применением свойств определителей.
Свойства определителей.
· Знак определителя меняется на противоположный при перестановке местами 2х параллельных рядов определителя (строк или столбцов).
· Если все элементы некоторого ряда определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.
· Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно вынести за знак определителя.
· Если элементы 2х параллельных рядов определителя пропорциональны, то определитель равен 0.
· Определитель не изменится, если к элементам какого-то его ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на произвольное число.
Примечание. Если какой-то из рядов определителя является линейной комбинацией 2х других рядов, то определитель равен 0.
· Если элементы одного ряда определителя равны сумме 2х слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых ряд состоит из 1х слагаемых, а у 2го определителя – из 2х.
|
|
|
Пусть имеется определитель с элементами 
. =1,………, n ; =1,………, n .
Определение. Минором 
элемента называется определитель, который получается из исходного вычеркиванием -й строки и -го столбца.
Алгебраическим дополнением 
элемента называется минор этого элемента с коэффициентом 
.
= 
.
· Теорема . Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого параллельного ряда, равна 0.
Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Определение. Матрицей размера m ´ n , где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицыЭлементы матрицы обозначаются aij , где i - номер строки, а j - номер столбца.
А = 
Основные действия над матрицами.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.
Определение. Если 
= 
, то матрица называется симметрической.Определение. Квадратная матрица вида 
называется диагональной матрицей.
Определение. Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единицы:
|
|
|
= E , называется единичной матрицей.
Определение. Матрица, у которой под главной диагональю находятся только нулевые элементы, называется верхней треугольной матрицей. Если у матрицы над главной диагональю находятся только нулевые элементы, то она называется нижней треугольной матрицей.
Определение. Две матрицы называются равными, если они одной размерности и выполняется равенство: 
· Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
= 
± 
С = А + В = В + А.
· Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
a (А+В) = a А ± a В
А( a ± b ) = a А ± b А
· Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
|
|
|
A × B = C ;
.
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Пример.
.
· Определение . Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = 
; В = АТ= 
;
другими словами, = .
Обратная матрица .
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 191; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!