КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УСТАНОВЛЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В СТАТИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

НАЗНАЧЕНИЕ

Учебная программа "ЭНТРОПИЯ" предназначена для изучения понятия энтропии и процессов установления равновесия в статистических системах методом компьютерного моделирования. Она рассчитана на выполнение лабораторной работы в течение 2-4 часов.

Программа написана на алгоритмическом языке PASCAL и требует использования IBM совместимых компьютеров с мониторами CGA, EGA, VGA. Для работы программы необходимо, чтобы вместе с рабочим файлом (entropy.exe) в той же директории находилcя файл cga.bgi.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Исследовать:

поведение энтропии в процессе установления равновесия и в состоянии

равновесия;

зависимость времени установления равновесия от длины пробега частицы и числа частиц;

зависимость величины флуктуаций энтропии в состоянии равновесия от числа частиц.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Самым детальным описанием состояния макроскопической системы является задание координат и импульсов всех частиц. Такое описание состояния системы называется микросостоянием. Если координаты и импульсы задавать с допусками ∆x, ∆y, ∆z, ∆p_x , ∆p_y и ∆p_z , то указание микросостояния каждой частицы равносильно указанию ячейки, как в обычном (координатном) пространстве, так и в пространстве импульсов. Пространство шести измерений, осями которого являются координаты и компоненты импульса называется фазовым пространством для частицы. Для N частиц фазовое пространство содержит 6N измерений (удвоенное число степеней свободы). Микросостояние всей системы в фазовом пространстве задается одной точкой (или ячейкой).

Состояние термодинамической системы может быть также задано при помощи макроскопических параметров, характеризующих систему в целом: объёма, давления, температуры и т.д. Такое описание называется макросостоянием.

Если система находится в состоянии термодинамического равновесия, то её макросостоняие не изменяется. Частицы же все время перемещаются и изменяют свой импульс. Это соответствует изменению положения точки в фазовом пространстве. Следовательно, всякое макросостояние может быть реализовано множеством микроскопических способов. Число микросостояний, посредством которых может быть реализовано данное макросостояние, называется статистическим весом W макросостояния.

Рассмотрим пример. Ради простоты разобьём пространство всего на две ячейки (правую и левую половину сосуда). Импульс частицы учитывать не будем.

Рис.1

Распределение N молекул между левой и правой половинами сосуда (n₁ :n₂).

Различные макросостояния будем отличать по тому, сколько частиц содержится в правой и левой половинах объёма соответственно. Микросостояния будут отличаться тем, какие частицы содержатся в той или иной половине сосуда. Для подсчёта статистического веса каждого макросостояния, например, W(n₁ : n₂) (что означает: слева находится n₁ частиц, справа n₂= N- n₁), можно применить следующие соображения. Начнём переставлять частицы местами. Для N частиц возможно

N! = N⋅(N - 1)⋅...⋅1 (1)

перестановок. Однако перестановки в пределах каждой половины сосуда не дадут нового микросостояния. Их число равно n₁! и n₂! соответственно. Поэтому полное число микросостояний для макросостояния (n₁ : n₂) равно

W(n₁ : n₂) = N! / (n₁ !⋅n₂ !). (2)

Каждая молекула может быть помещена в сосуд двумя способами, а N молекул - 2⋅2⋅2⋅... = 2^N , т.е. всего микросостояний возможно 2^N. В статистической физике доказывается, что все микросостояния равновероятны. Поэтому вероятность каждого макросостояния будет пропорциональна статистическому весу и в нашей модели равна

P(n₁ : n₂) = W(n₁ :n₂) / 2^N ^. (3)

Пусть N=4. Рассмотрим различные макросостояния и способы их реализации.

Таблица 1. Варианты распределения 4 молекул в сосуде.

Макросостояние: число молекул слева:справа	Микросостояния: номера молекул слева/справа	Статистический вес W	Вероятность P
0:4	- / 1, 2, 3, 4	1	1/16
1:3	1/ 2, 3, 4 2/ 1, 3, 4 3/ 1, 2, 4 4/ 1, 2, 3	1·2·3·4/(1·1·2·3)=4	1/4
2:2	1, 2 / 3, 4 1, 3 / 2, 4 1,4 / 2, 3 2,3 / 1, 4 2,4 / 1, 3 3,4 / 1, 2	1·2·3·4/(1·2·1·2)=6	6/16
3:1	аналогично 1:3	4	1/4
4:0	аналогично 0:4	1	1/16

Статистический вес, как мера вероятности макроскопического состояния обладает рядом неудобств. Во-первых, статистический вес реальных систем выражается огромными числами. Во-вторых, статистический вес не обладает свойствами аддитивности. Статистический вес двух подсистем равен произведению статистических весов каждой подсистемы W = W₁⋅W₂ Взяв логарифм от правой и левой части получим, что логарифм статистического веса - аддитивная величина ln(W) = ln(W₁) + ln(W₂) Величина

S = k⋅ln(W), (4)

где k - постоянная Больцмана, называется энтропией системы. Энтропия, как и статистический вес, является мерой вероятности состояния: чем больше статистический вес (и вероятность), тем больше энтропия. Энтропия является аддитивной величиной:

S = S₁ + S_2. (5)

В термодинамике изменение энтропии при квазистатическом процессе выражается через количество теплоты, полученное системой

dS = δ Q / T. (6)

Действительно, подвод тепла приводит либо к увеличению объёма газа, либо к повышению его температуры (т.е. "расширению" газа в импульсном пространстве). Оба процесса приводят к увеличению числа ячеек в фазовом пространстве и, следовательно, к росту статистического веса. Природа необратимости термодинамических процессов состоит в том, что переходы к состоянию с большим статистическим весом являются намного более вероятными, чем обратные. Следовательно, в таких системах будет наблюдаться возрастание энтропии, а в состоянии равновесия она будет оставаться постоянной (с точностью до малых случайных флуктуаций!). Это утверждение носит название второго начала термодинамики.

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Представленная программа моделирует хаотическое движение N невзаимодействующих частиц и их перераспределение между двумя половинами объема. На каждом шаге для каждой молекулы длина пробега от 0 до некоторого максимального значения и направление движения задаются случайным образом.

После каждого шага определяется число частиц в каждой половине объема, вычисляются статистический вес и энтропия состояния. Полученные значения выводятся на табло и график. На экране отображается также движение всех "молекул".

Изменяемыми параметрами являются число частиц N (от 4 до 40), максимальная длина свободного пробега (в пикселах) а также продолжительность опыта (до 250 шагов).

Первоначально все молекулы находятся в левой части объема, затем в результате хаотического движения происходит установление равновесного состояния.

Запуск программы осуществляется командой

entropy.exe <ENTER>

Работа производится в диалоговом режиме, все указания выдаются на экран.

Рис 2. Рабочий экран модели.

ЗАДАНИЯ

1. Выбрав произвольно N (рекомендуем 10-16) и задавая последовательно 4-5 значений максимальной длины свободного пробега (от 10 до 50 пиксел), наблюдать процесс установления равновесия. Равновесие считать установившимся, когда молекулы достаточно равномерно распределятся в сосуде.

Запишите время релаксации для каждого опыта (в шагах). (Время релаксации определяется приближенно.) Обратите внимание на изменение характера поведения энтропии после установления равновесия. (Рекомендуемая продолжительность опыта - 100-150 шагов).

2. Для фиксированной длины свободного пробега аналогично исследовать зависимость времени релаксации от числа частиц (4-5 опытов)

3. Сравнить величину равновесных флуктуаций энтропии для различного числа частиц (3-4 опыта). Для выделения состояния равновесия необходимо после окончания опыта по запросу программы указать время релаксации, после которого равновесие можно считать установившимся. Мерой флуктуаций являются среднеквадратичное отклонение d S

(7)

где <S> - среднее значение энтропии, и коэффициент вариации

ε = d S / <S> (8)

вычисляются программой в конце каждого опыта (запишите в отчет!).

В этих опытах для быстрого установления равновесия рекомендуем установить большую длину свободного пробега (40 - 50). Время опыта рекомендуем установить максимальным (250 шагов).

4. Распечатать картинку одного из опытов (при наличии принтера)(по п. 2) и вклеить его в отчет, или изобразить на графике примерный ход энтропии в процессе установления равновесия.

Сформулируйте письменно выводы:

1. Как время релаксации зависит от длины свободного пробега? От числа частиц?

2. Охарактеризуйте изменение энтропии до и после установления равновесия. Наблюдается ли самопроизвольное уменьшение энтропии после установления равновесия?

3. Как относительная величина флуктуаций зависит от числа частиц?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое микроскопическое и макроскопическое состояния? Рассмотрите случай распределения n частиц по двум половинам сосуда:

а. Две частицы из разных половин поменяли местами. Изменится ли макроскопическое состояние системы? Микроскопическое состояние системы?

б. Две частицы в одной половине сосуда поменяли местами. Изменится ли макроскопическое состояние системы? Микроскопическое состояние системы?

в) Частицу переместили из одной половины сосуда в другую. Охарактеризуйте изменение состояния системы.

2. Вычислить статистический вес состояний:

а) слева - 4 частицы, справа - 2 (условно 4 : 2).

б) (3:3)

Какое состояние более вероятно?

3. Какая существует связь между статистическим весом и энтропией? Как вычисляется статистический вес и энтропия системы, состоящей из двух (или нескольких) подсистем? Как вероятность P макросостояния связана с его статистическим весом W? Как отношение вероятностей P₂ / P₁ двух макросостояний связано с разностью энтропий в этих состояниях S = S₂ - S₁ ?

4. Как вычисляется изменение энтропии в термодинамике для равновесных процессов? Объясните изменение энтропии с точки зрения статистической физики:

при изотермическом расширении,

при изохорном нагревании,

при адиабатическом процессе.

ЛИТЕРАТУРА

[1] §§ 80, 81;

[3] §§ 49-51, 58-59; [5] 6.7, 6.11-6.15.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2-14

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 177; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 151617 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!