Дифференциальные зависимости при изгибе

 

Рассмотрим консольную балку (рис. 8.10а), к которой приложена нагрузка, изменяющаяся по произвольному закону. Вырежем из балки бесконечно малый элемент длиной dz, в пределах которого распределенную нагрузку можно считать равномерно распределенной (рис. 8.10в).

На левой и правой грани рассматриваемого элемента действуют положительные внутренние силовые факторы, показанные на (рис. 8.9в). Под действием приложенной нагрузки и силовых факторов выделенный элемент находится в равновесии. Запишем уравнения статики:

ΣF_y = 0  Q_y + q_zdz – (Q_y + dQ_y) = 0 → = ± q_z                                          (8.1)

ΣM_k = 0  M_x + Q_zdz + qdz·  – (M_x + dM_x) = 0 → = ± Q_y          (8.2)

Из двух полученных дифференциальных уравнений можно получить третье:

                                                                                                                       (8.3)

Знак «+» или «-» в формулах (8.1) - (8.3) зависит от направления оси z. Для правосторонней системы координат берется знак «+».

 

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил в балках

 

Для оценки прочности и жесткости изгибаемых элементов необходимо знать изменение изгибающего момента и поперечной силы по длине балки, а также их экстремальное значение. С этой целью строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил - представляют собой график, изображающий аналитическую зависимость M_x и Q_y по длине балки. Ординаты на эпюрах откладываются в масштабе или соразмерно их численным значениям.

Для определения M_x и Q_y в пределах каждого участка балки пользуются методом сечений.

Границами участков на балке являются точки приложения сосредоточенных сил и моментов, точки начала и конца действия распределенной нагрузки.

В пределах каждого участка проводим нормальное к оси балки сечение и рассматриваем в равновесии целиком правую или левую часть балки. Действие отброшенной части балки заменяем внутренними силовыми факторами, которые прикладываются в положительном направлении. Для рассматриваемой части составляем уравнения равновесия статики и находим M_x и Q_y, которые при этом считаются внешними силовыми факторами. На основании полученных аналитических зависимостей определяем значение M_x и Q_y в граничных и промежуточных точках, а затем строим эпюры.

На эпюре Q_y положительная ордината откладывается вверх, а на эпюре M_x вниз. Это связано с принятым правилом знаков. Принято говорить, что эпюра M_x строится со стороны растянутого волокна балки.

Пример 8.2.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, нагруженной, как показано на рис. 8.11.

1. Определяем реакции в балке: R_a=4кН, R_c = 8 кН.

2. Балка имеет два участка АВ и ВС_.

3. Участок АВ. На расстоянии z₁ от точки А проводим сечение 1:1 и рассматриваем в равновесии левую часть балки. Сечение может быть проведено в любом месте между точками А и В. Следовательно,

0 ≤ z₁ ≥ 4

ΣF_y = 0 A – Q_y = 0 → Q_y = A = 4 кН

 

Пользуясь принятым правилом знаков, для поперечной силы можно записать

Q_y = A = 4 кН

Сила А приложена слева от сечения и направлена вверх.

ΣM_x = 0 Az – M_x = 0 → M_x = Az

 

В дальнейшем будем рассуждать так: момент в рассматриваемом сечении из условия равновесия левой части равен

M_x = Az.

 

Находим значения  изгибающего момента в граничных точках участка:

M₀ = 0, M₄ = 4·4 = 16 кНм

 

Участок ВС. Проводим сечение 2:2 на расстоянии z₂ от точки С и рассматриваем в равновесии правую часть балки.

  Q_y = – C = – 8кН, M_x = Cz → M₀ =  0, M₂ = 8·2 = 16 кНм

 

По найденным значениям M_x и Q_y строим соответствующие эпюры.

Пример 8.3.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, нагруженной как показано на рис. 8.12.

1. Определяем опорные реакции балки:

ΣF_z = 0 → H = 0

Σm_c = 0, A·6 – q·4·4 = 0 → A = 8 кН

Σm_a  = 0, C_c·6 – q·4·2 = 0 → C= 4 кН

ΣF_y  = A – q·4 + B = 8 – 12 + 4 = 0

Реакции определены верно.

В дальнейшем будем полагать, что горизонтальная реакция при вертикальной нагрузке равна нулю и соответствующее уравнение для ее нахождения можно не записывать.

2. Балка имеет два участка АВ и ВС.

3. Участок АВ: 0 ≤ z₁ ≥ 4

Q_y = A – q·z₁ → Q₀ = A = 8 кН, Q₄ = 8 – 3·4 = – 4 кН

M_x = A·z₁ – q·z₁· = A·z₁ – → M₀ = 0, M₄ = 8 кНм

= A – q·z₁ =0 → z₁ = =2,66 м, М_2,66 = 10,67 кН

 =  – q  кривая выпуклая

4. Участок ВС: 0 ≤ z₂ ≥ 2

Q_y = – С = – 4 кН

M_x = С·z₂ → M₀ = 0, M₂ = 4·2 = 8 кНм

По найденным значениям M_x и Q_y строим соответствующие эпюры.

Пример 8.4.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для консольной балки, нагруженной как показано на рис. 8.13.

При построении эпюр в консольной балке реакции в заделке можно не находить. В этом случае рассматривают равновесие части балки, расположенной со стороны ее свободного конца. Балка имеет два участка АВ и ВС.

I. Участок АВ: 0 ≤ z₁ ≥ 3

Q_y = – q·z₁ → Q₀ = 0, Q₃ = – 12 кН

M_x = M – q·z₁· = M – → M₀ = 6 кНм,

М₄ = – 6 кН

II. Участок ВС: 0 ≤ z₂ ≥ 1

Q_y = – q·3 + P = – 2 кН

M_x = M – q·3·(1,5 + z₂) + P·z₂ → M₀ = 12 кНм,

M₁ = – 14 кНм

По найденным значениям M_x и Q_y строим соответствующие эпюры.

 

Построение эпюр в рамах

 

Рама представляет собой систему прямых стержней, определенным образом соединенных между собой.

В простейшем случае рамой может быть балка с ломаным очертанием оси. Вертикальный элемент рамы называется стойкой, горизонтальный – ригелем. Рамы бывают плоскими и пространственными Примером плоской рамы является поперечник промышленного здания. В отличие от балки на раму кроме вертикальных нагрузок действуют и горизонтальные нагрузки. Порядок определения реакций в раме практически не отличается от балок. Рассмотрим алгоритм определения реакций в раме на следующем примере.

Пример 8.5. Определить опорные реакции в раме, изображенной на рис.8.14.

1. ΣF_z = 0. H_A – P = 0 → H_A = P = 2 кН

2. Σm_A = 0. – M + P·6 + q·4·4 + P·3 – B·6 = 0 → B = 10 кН

3. Σm_B  = 0. – M – q·4·2 + P·3 + A·6 = 0 → A = 4 кН

4. ΣF_y  = A – q·4 – P + B = 4 – 12 – 2 + 10 = 14 – 14 = 0

Реакции найдены верно.

 

Порядок построения эпюр M_x, Q_y, N_z в рамах такой же, как и балках. Эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон балки. Положение растянутого волокна определяется аналитически в соответствии с уравнением М_х.

Правило знаков для поперечной силы в рамах такое же, как и балках. В рамах, помимо названных внутренних усилий, действует еще и продольная сила, которая определяется методом сечений. Порядок построения эпюр рассмотрим на примере 8.6.

Пример 8.6. Построить эпюры M_x, Q_y, N_z для рамы, изображенной на рис. 8.15

 

 

1. ΣF_z = 0. H_A – P = 0 → H_A = P = 2 кН

2. Σm_A = 0. – M + P·4 + q·4·2 + P·3 – B·4 = 0 → B = 6 кН

3. Σm_B  = 0. – M – q·4·2 + P·1 + A·4 = 0 → A = 6 кН

4. ΣF_y  = A – q·4 + B = 6 – 12 – 6 = 12 – 12 = 0

Реакции найдены верно.

 

Рама имеет четыре участка. На каждом участке рамы проводим сечение и рассмотрим в равновесии одну из частей рамы. Правую или левую, верхнюю или нижнюю.

1. Участок AD      

0 ≤ z ≤ 3

Q_y = H_A = 2 кН

M_x = – H_A·z₁·M₀ = 0, М ₃ = – 6 кНм

ΣF_z = 0 A + N₁ = 0 → N = – A = – 6 кН

Уравнение моментов записано для случая, когда наблюдатель находится слева от стойки AD . Эпюра М_х отрицательная, поэтому откладывается справа от стойки AD . Когда наблюдатель находится слева от AD , знак изгибающего момента меняется. Теперь ординаты эпюры моментов откладываются, как и в предыдущем случае, справа от стойки AD . По этой причине в рамах на эпюрах изгибающих моментов знак не ставится.

2. Участок СD      

0 ≤ z₂ ≤ 2

Q_y = 0

M_x = – M = – 8 кНм

ΣF_z = 0 → N₂ = 0

 

3. Участок DE 

0 ≤ z₃ ≤ 1

Q_y = P = 2 кН

M_x = – P·z₃, M₀ = 0, M₁ = 2 кНм,  

ΣF_z = 0 → N₃ = 0

 

4. Участок ВD     

0 ≤ z₄ ≤ 4

Q_y = B + q·z·Q₀ = – 6 кН, Q₄ = – 6 + 12 = 6 кН

M_x = –B·z₄ – · M₀ = 0,  М₄ = 0, = B - q·z = 0, z =  = 2 мм

M_max = B·2 – = 12 – 6 = 6 кНм, N₄ = 0

По найденным значениям M_x, Q_y, N_z строим соответствующие эпюры (рис 8.16)

 

С целью проверки правильности построения эпюр M_x, Q_y, N_z, рассмотрим равновесие узла D. Изгибающий момент в рассматриваемом сечении направляем от ординаты эпюры M_x под балку.

Следовательно, узел D находится в равновесии.

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 290; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!