Напряжения и деформации при кручении
Теория кручения вала круглого поперечного сечения основана на таких гипотезах:
1. радиусы поперечных сечений в процессе его деформации не искривляются;
2. длина при его деформации сохраняется;
3. поперечные сечения плоские до деформации остаются плоскими, и после деформации.
В силу первой и второй гипотез, не возникают нормальные напряжения σ. Касательные напряжения, действующие параллельно осям х и у – τxz τyz также отсутствуют.
 |
На внешнюю поверхность вала до начала действия крутящего момента Мz нанесем прямоугольную сетку (рис. 7.3а), и обратим внимание на характер деформирования ячейки, обозначенной цифрами 1234, после приложения крутящего момента. Из рисунка видно, что прямые углы перекашиваются, а стороны не меняют своей длины (рис.7.3б). Это характерно для деформации чистого сдвига (рис.7.3в). При чистом сдвиге, как известно, возникает деформация относительного сдвига γ и касательные напряжения τ, между которыми до некоторых значений внешней нагрузки выполняется закон Гука (6.3)
τ = γG (a)
Вывод формулы касательных напряжений при кручении круглого вала
Рассмотрим вал круглого поперечного сечения (рис. 7.4) при действии крутящего момента Мz. Образующая DC повернется на угол γ, а соответствующий радиус свободного конца r = OС поперечного сечения повернется на угол φl.
|
|
|
Абсолютный угол закручивания это угол поворота поперечного сечения вала относительно своего начального положения. Размерность абсолютного угла закручивания dim φ = рад. Здесь размерность сокращенно обозначена через dim.
Угол поворота произвольного сечения равен φ(z).
Вырежем из вала элемент малой длины dz радиусом ρ и рассмотрим его деформацию (рис. 7.5). При этом
- с одной стороны длина дуги с˘с΄ = ρdφ;
- c другой - с˘с΄ = γ,dz.
Приравнивая длины с˘с΄, получим такое соотношение: ρdφ = γ,dz. С учетом закона Гука (а) получим такую зависимость:
τ(ρ) = ρθG, (7.2)
 |
где отношение абсолютного угла закручивания вала к его длине
- называется относительным углом закручивания. Размерность относительного угла закручивания dim θ = рад/м.
Формула (7.2) показывает, что касательные напряжения τ, действующие в поперечном сечении вала, изменяются по линейному закону (рис 7.6). Максимальные касательные напряжения τmax действуют в точках у поверхности вала.
Рассмотрим теперь статическую сторону задачи (рис. 7.7). Сумма моментов внутренних сил должна равняться крутящему моменту Мz. Равнодействующая внутренних сил на элементарной площадке dF, отстоящей на расстоянии ρ от центра тяжести поперечного сечения вала
|
|
|
dT = τ(ρ)dF
Момент этой элементарной силы dT будет равен: dМz = dT·ρ
Крутящий момент Mz равен сумме элементарных моментов по всей площади поперечного сечения вала:
Мz = 
.
Подставим значения касательных напряжений (7.2) получим: Мz = 
. Известно, что 
- это полярный момент инерции. Отсюда относительный угол закручивания вала
(7.3)
GJρ - называют жесткостью вала при кручении, т.е. это произведение модуля сдвига на полярный момент инерции. Крутильная жесткость GJρ характеризует податливость вала при деформации кручения.
Чем больше жесткость GJρ, тем больше вал сопротивляется деформации кручения. Понятно, что жесткость стального вала больше жесткости вала деревянного с равными диаметрами поперечных сечений при действии на них равных крутящих моментов Мz.
Подставляя (7.3) в формулу (7.2), получаем:
(7.4)
Формула (7.4) называется формулой касательных напряжений при кручении вала круглого поперечного сечения.
|
|
|
Для вала сплошного поперечного сечения полярный момент инерции:
(7.5)
В случае кольцевого сечения
, (7.6)
где α = d/D - отношение внутреннего диаметра кольцевого сечения к его наружному диаметру.
Таким образом, формула (7.4) применима для определения касательных напряжений в любой точке валов сплошного и кольцевого поперечных сечений.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 365; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!