Формулы Виета и теорема Виета

Запишем уравнение n-ой степени.

Уравнением n-ой степени называется равенство , где - многочлен n-ой степени, если ставится задача найти такие значения переменной x, при которых это равенство обращается в верное, число c при этом называется корнем уравнения

. (1)

Корни уравнения это есть корни многочлена .

Мы знаем, что над полем C всякий многочлен n-ой степени имеет n корней.

Формулы Виета выражают связь между корнями уравнения (1) и его коэффициентами.

Возьмем многочлен со старшим коэффициентом (1) над полем C, он имеет n корней, считая их кратность.

Раскрывая скобки в правой части этого равенства мы получим:

Формулы Виета:

…

Если - корни многочлена со старшим коэффициентом 1, то сумма корней взятых по одному равняется вторым коэффициентом многочлена взятых с противоположным знаком. Сумма произведение корней взятых по два равна третьему коэффициенту, сумма произведение взятых по три равна четвертому коэффициенту, …, произведение всех корней равно свободному члену на .

Уравнения третьей степени с действительными коэффициентами

. (2)

–называется дискриминантом кубического уравнения (2).

1) D<0 => .

- положительное действительное число.

- действительное число.

– действительное, - комплексно-сопряженные.

– действительное, – действительное.

Один действительный корень и два комплексно-сопряженных.

2) D=0 => .

- действительное число.

, - комплексно-сопряженные.

Все три корня действительные числа.

3) D>0 => .

– линейное число.

- комплексное число.

Корень третьей степени отличается от действительного. Действительным быть не может.

– комплексные числа.

– действительные корни <=> когда числа являются комплексно-сопряженными .

;

Все три корня действительные числа.

Корни кубического уравнения часто находят приближенным методом.

Решение уравнений с рациональными коэффициентами. Нахождение рациональных корней уравнения.

. (1)

Если умножить на общий знаменатель , то получим уравнение с целыми коэффициентами

. (2)

Если α – корень 1 => α - корень 2.

Если α – корень 2 => α - корень 1.

Сведется к нахождению корней уравнения с целыми коэффициентами.

Теорема 1: Если несократимая дробь является корнем уравнения (2), , то числитель дроби – p является делителем свободного члена a_n, а q является положительным делителем старшего коэффициента.

Доказательство:

Дано: - корень уравнения (2) => - верное равенство. Умножим его на qⁿ.

Все слагаемые от 1-го до предпоследнего делятся на p; сумма делится на p => последнее слагаемое делится нацело на p - .

Все слагаемые, кроме 1-го, делятся на q и сумма делится нацело на q => .

Т.к. p, q – взаимно-простые, то любая степень q с числом p взаимно-простые и наоборот.

По теореме о взаимно-простых числах (если произведение на число, а один из сомножителей взаимно-простое с этим числом => второе слагаемое делится нацело на p)

p – делитель свободного члена,

q – делитель старшего коэффициента.

Учитывая , знаменатель можно брать положительный.

Следствие 1: . Если старший коэффициент равен 1, то его корнями могут быть только целые числа, являющиеся делителями свободного числа.

Доказательство:

Если является корнем уравнения, то по предшествующей теореме q – делитель старшего коэффициента, q – делитель 1.

Значит делитель будет p – делитель свободного члена.

Следствие 2: Целыми корнями уравнения могут быть делители свободного члена.

Доказательство:

По теореме, если – корень уравнения (2), то p является делителем свободного члена; q – положительный делитель старшего коэффициента.

только тогда, когда p=α, q=1 => α является делителем свободного члена.

Теорема является необходимым условием того, чтобы рациональное число было корнем многочлена с целыми коэффициентами.

1-е необходимое условие существования рационального корня у многочлена с целыми коэффициентами:

Для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения (2) с целыми коэффициентами необходимо, чтобы числитель этой дроби был делителем свободного члена, а знаменатель – положительным делителем старшего коэффициента.

Пример: 3x⁴+5x³+x²+5x-2=0

- делители.