Теорема о делении с остатком.
Для любых двух многочленов 
где 
над тем же полем такие что:
1. 
2. 0 
или 
Доказательство.
1) Пусть 
Если степень 
, 
Ст. 
2)Пусть 
Степень 
Если 
то процесс останавливается,
Если 
то процесс продолжается
Степень 
Если 
то процесс останавливается,
Если 
то процесс продолжается
И ТД.
Процесс конечен так как степени многочленов понижаются, но отрицательными быть не могут. Настанет момент, когда степень 
Получили 
Степень
Общий делитель многочленов.
Наибольший общий делитель.
Даны 
Общим делителем двух или нескольких многочленов над полем 
называют многочлен 
на который делится каждый из данных многочленов 
.
Множество общих делителей не пустое, так как 
будет общим делителем любых многочленов.
НОД двух или нескольких многочленов называется такой их общий делитель 
который делится на любой другой их общий делитель 
, 
.
Существует ли для любых двух многочленов НОД, если существует, то однозначен или нет, как их находить? Ответ на эти вопросы – алгоритм Евклида.
Даны 
.
Сравним степени n и m. Многочлен большей степени делим на многочлен меньшей степени. Если их степени равны, то неважно, какой многочлен, на какой делить. По теореме о делении с остатком 
такие, что 
.
Если 
то процесс останавливается.
Если 
то делим 
на 
.
ст. 
< ст. < 
|
|
|
делим на 
, ст. 
< ст. <
Процесс деления конечен
Доказательство: 
, 
- общий делитель.
(из последнего)
(из предпоследнего)
и т. д.
, 
- общий делитель.
Покажем, что - НОД
Пусть - общий делитель многочленов 
и 
Из (1) 
Из (2) 
...
- НОД и .
Свойства НОД
1. НОД двух многочленов находится однозначно с точностью до числового множителя. (1)
Доказательство: 
– общий делитель.
- общий делитель.
По свойству делимости – два многочлена делятся друг на друга тогда и только тогда, когда они отличаются числовым множителем.
НОД и среди всех брать тот, у которого старший коэффициент равен 1 (нормированные).
Замечание: Учитывая свойство (1) при нахождении НОД с помощью алгоритма Евклида многочлены , , , , …, можно заменять другими многочленами, отличными числовыми множителями.
«Теорема о линейном представлении НОД двух многочленов»
|
|
|
Если 
, то 
Над P: 1) 
2) ст 
ст 
Доказательство:
Доказательство существования 
вытекает из алг. Евклида
из 
получаем
, 
Из 2 равенства: 
, 
и т.д.
Из предпоследнего: 
подставим, сгруппируем и получим:
На практике будем находить 
, 
начиная с конца. При этом допускать умножения на числа нельзя.
Докажем, что ст. 
ст. 
Пусть - одна из пар, удовлетворяет теореме
.
Пусть ст. 
, разделим по теореме о делении с остатком . Найдем часть 
.
ст. 
подставим
Покажем, что степень многочлена ст. 
Если бы степень этого многочлена была 
ст. , тогда степень пр-я на этот многочлен была бы 
.
ст. 
ст. 
,
d – делитель.
ст. 
ст. 
получаем противоречие
ст. 
Через 
возьмем 
, а через 
.
Получим 
,
где ст. 
, а ст. 
.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 391; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!