Многочлены над полем рациональных чисел
Многочлен вида
, 
называется примитивным, если его коэффициенты взаимно простые числа
.
Например: 
- примитивный.
Теорема: Всякий многочлен с рациональными коэффициентами можно представить в виде произведения несократимой дроби на примитивный многочлен.
Доказательство:
, .
.
.
Найдется 
- общий знаменатель.
По свойству дробей все коэффициенты можно привести к общему знаменателю 
.
.
.
- примитивный многочлен.
Если 
– несократимая, то теорема доказана.
Если - сократимая, то 
, 
– примитивный.
. Ч.т.д.
Например: 
.
.
Лемма Гаусса: Произведение примитивных многочленов является примитивным.
Доказательство:
.
.
.
.
Предположим, что этот многочлен не примитивный. Тогда 
.
- простое число, на которое все коэффициенты делятся.
.
Т.к. многочлены 
являются примитивными, то все коэффициенты и первого, и второго многочлена делиться на p не могут.
Пусть 
.
.
.
по условию все слагаемые, кроме одного делятся на p. Тогда 
, отсюда 
или 
, а это противоречит выбору коэффициентов 
. Противоречие в результате неверного предположения. Значит 
. Значит многочлены 
– примитивные.
Сведение вопроса о приводимости многочленов над полем рациональных числе к вопросу о приводимости этих многочленов над кольцом целых чисел.
Пусть многочлен 
с рациональными коэффициентами. Тогда его можно представить как 
, – примитивный, – несократимая дробь.
|
|
|
Если с целыми коэффициентами будет приводим над Z:
, 
с целыми коэффициентами, ст. 
, ст. 
,
тогда 
, - приводим.
Пусть приводим над Q. Тогда покажем, что он приводим над кольцом Z.
Пусть 
с рациональными коэффициентами.
Тогда 
.
Тогда 
.
По лемме Гаусса 
– примитивные его коэффициенты целого и взаимно простые, - примитивный с целыми и взаимно простыми коэффициентами.
Тогда 
.
Произведение примитивно умноженного на 
даст нам многочлен с целыми коэффициентами ó .
А значит 
.
Т.к. 
, то 
, 
.
Т.к. 
, то 
.
Получили 
.
Разложили , приводим над Z. Значит будет приводим над Q.
Вопрос о приводимости многочлена над Q сводится к вопросу о приводимости над Z.
Критерий Эйзенштейна о неприводимости многочленов над полем рациональных чисел
Если вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем C и R решается легко, то вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем Q решается довольно сложно.
Существует несколько достаточных критериев приводимости и неприводимости многочленов и несколько необходимых. Мы рассмотрим наиболее важные.
Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень 
, то он приводим над Q 
.
|
|
|
Докажем критерий Эйзенштейна (достаточное условие того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводим над Q).
Многочлен с целыми коэффициентами
,
будет неприводим над Q, если существует простое число p, удовлетворяющее условиям:
1) 
2) 
3) 
.
Доказательство:
Пусть удовлетворяет всем условиям критерия и пусть он приводим => 
.
, где 
.
Тогда
Все коэффициенты, кроме 
делятся на p, когда 
, но 
, 
.
Пусть 
(если бы 
, то 
, а у нас , значит 
).
, тогда 
, но => 
.
, тогда 
=> 
.
На m-ом шаге получим 
. Поднимемся в первое равенство:
=> 
, а это против условия (1) критерия Эйзенштейна.
Значит многочлен неприводим.
Пример: Выяснить приводимость многочлена 
существует 3: 
.
0,3,-12,39,6 
3. Значит многочлен неприводим над Q.
Из критерия Эйзенштейна следует, что над полем Q существует неприводимый многочлен сколь угодно большой степени. Докажем, что существует многочлен тысячной степени.
.
2 
5;
0,…,0,5,10 
.
10 25.
Значит многочлен неприводимый над полем Q.
Критерия Эйзенштейна является лишь достаточным условием, поэтому если хотя бы одно из условий критерия не выполняется, то о многочлене нельзя сказать приводимый он или неприводимый.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 2990; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!