ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ САУ

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 33Следующая ⇒

Частотные характеристики линейных САУ рассчитываются через передаточные функции: если W ( p ) – передаточная функция, то W ( j w ) – частотная характеристика (ЧХ), получаемая из передаточной функции путём замены в ней p на j w.

ЧХ как комплексное число может быть представлено в показательной и алгебраической формах.

Показательная форма:

(4.1)

Эта запись позволяет найти еще две важнейшие характеристики: АЧХ и ФЧХ:

A ( w ) – амплитудо-частотная характеристика (АЧХ);

j ( w ) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Алгебраическая форма:

W(j w )=P( w )+jQ( w ) (4.2)

Данное выражение порождает еще две характеристики: – вещественно-частотная характеристика (ВЧХ)и – мнимо-частотная характеристика (МЧХ).

График ЧХ на комплексной плоскости называется годографом(рис.4.1). Между величинами A , j , P и Q существуют связи (аргумент w опущен):

(4.3)

Особенности вычислений ЧХ можно проследить только на числовом примере.

Пусть передаточная функция звена имеет вид

(4.4)

Частотная характеристика

(4.5)

Формально в записи (4.5) ЧХ представляет собой отношение двух комплексных чисел числителя и знаменателя. Далее вычисляем:

АЧХ: (4.6)

ФЧХ: (4.7)

ВЧХ и МЧХ домножением числителя и знаменателя ЧХ на комплексно-сопряженное к знаменателю число:

откуда

(4.8)

Как видно, вывод выражений A ( w ), j ( w) , P ( w ) и Q ( w ) принципиально прост. Сложным являются вычисления с целью построения годографа ЧХ, если принять во внимание, что при этих вычислениях нужно знать, до какого значения аргумента w нужно считать (полный интервал изменения w от 0 до ¥) и каким должен быть шаг Dw вычислений? В сравнении с расчётами переходных процессов расчёты ЧХ сложнее тем, что нет простых процедур определения конечной (верхней) частоты w счёта и шага Dw, который к тому же будет неравномерным.

Здесь следует пользоваться проверенными на практике приёмами расчёта ЧХ:

1. Необходимо предугадать вчерне вид годографа, а именно, где его начало и конец, через какие квадранты комплексной плоскости и в каком порядке он пройдёт при изменении частоты w от 0 до ¥.

Прежде всего, находят точки пересечения годографа с осями координат. Для этого решают уравнения:

P (w )=0 Þ - w ⁴ +2 w ² +9=0 Þ w =2,04, т.е. годограф пересекает мнимую ось на частоте w ₄ = 2,04, если в качестве иллюстрации расчётов принять рис.4.1;

Q ( w )=0 Þ w (0,5 w ² +1,5)=0 Þ w =0, т.е. годограф пересекает действительную (вещественную) ось на частоте w ₁ = 0.

Далее вычисляют значения P ( w ) и Q ( w ) при найденных частотах и на бесконечности при w = ¥ .

2. Определяют значение угла j ( ¥ ), с которым годограф входит в начало координат, по формуле

j ( ¥ )=-90 ^o ( n - m ), (4.9)

где n и m - степени полиномов p , соответственно, знаменателя и числителя передаточной функции.

По результатам описанных вычислений строится в черновом варианте годограф ЧХ (рис.4.1).

3. Подготавливается таблица вычислений, состоящая из 5-ти строк (табл.4.1)

Таблица 4.1 - Частотные характеристики

w	w ₁ =0	w ₂	w ₃	w ₄ = 2,04	w ₅	w ₆	w ₇	w = ¥
P ( w )				0				0
Q ( w )	0							0
A ( w )								0
j ( w )	0			-90^o				-180^o

В этой таблице прежде всего нужно заполнить первую строку - строку частот w. Все остальные строки затем заполнятся вычислениями по формулам (4.6)...(4.8).

Сначала находим частоты w ₂ и w ₃для точек годографа, лежащих в 4-м квадранте. Очевидно, что эти частоты должны быть такими, чтобы точки годографа на этих частотах равномерно заполняли бы участок в 4-м квадранте, т.е. угол j между соседними точками был примерно равен 30^о (ни в коем случае не надо стремиться получить точно 30^о, а лучше задать, например, 30^о 10^о). Руководствуясь этими соображениями, задаёмся частотой в пределах от 0 до 2,04 (эти значения верны только для рассматриваемого числового примера!) и вычисляем угол j . Если он равен 30^о 10^о, то нами найдена (точнее - угадана) частота w ₂ . Если вычисления дали 60^о 10^о, то найдена частота w ₃ . Иначе нужно снова задать значение w . Аналогично определяют частоты w ₅ ... w ₇ для 3-го квадранта.

После заполнения строки частот заполняется значениями вся таблица. По значениям P ( w ) и Q ( w) строится годограф W ( j w ) (рис.4.1), а по значениям A ( w ) и j(w) строятся АЧХ и ФЧХ (рис.4.2).

Замечание к расчётам по формуле (4.7) значений угла j на калькуляторе, компьютере и по таблицам тригонометрических функций. Во всех перечисленных случаях определяется только главные значения арктангенса - ARCTG (*), - которые находятся в пределах от -90^о до +90^о. Действительное значение угла определяется с учётом структуры выражения, находящегося под знаком arctg, которое является отношением мнимой Q к действительной P части соответствующего комплексного числа. Если P >0, то угол лежит в 1-м или 4-м квадрантах, если P <0, то угол лежит во 2-м или 3-м квадрантах. При Р=0 угол равен 90^о:

arctg ( Q /Р)= (4.10)

где sign ( Q ) - знак числа Q .

Как видно из приведенных выше приёмов расчёта ЧХ такой расчёт содержит достаточно сложные вычисления.

Из частотных характеристик в ТАУ чаще всего используются асимптотические логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ). Преимущество ЛАЧХ в том, что их расчёт чрезвычайно прост при достаточно высокой точности. При использовании ЛАЧХ проблем с длительным выбором (угадыва-нием) частот, при которых следует выполнять вычисления, не существует.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ

Звенья САУ могут иметь передаточную функцию с полиномами числителя и знаменателя произвольного порядка

(5.1)

Из курса алгебры известно, что полиномы любой степени могут быть представлены в виде произведения выражений типа

(5.2)

Тогда передаточная функция может быть представлена в виде произведения и частного таких выражений. Звенья, передаточная функция которых содержит кроме постоянных чисел только не более двух выражений типа (5.2) в числителе или знаменателе, называют типовыми или элементарными звеньями.

Типовые звенья подразделяются на позиционные, интегрирующие и дифференцирующие. Позиционные звенья имеют для установившегося режима статические характеристики вида y = kx , аинтегрирующие и дифференцирующие таких характеристик не имеют.

Виды типовых позиционных звеньев:

1. Безинерционное (пропорциональное) звено имеет передаточную функцию и описыватся алгебраическим уравнением, соответственно, вида

W ( p )= k , y = kx (5.3)

Примерами безинерционных звеньев служат рычажная передача (рис.5.1, а), потенциометрический датчик перемещения (рис.5.1, б).

В этих звеньях выходной сигнал у повторяет без задержки по форме входной сигнал х.

2. Апериодическое (инерционное) звено 1-го порядка имеет передаточную функцию и описывается уравнением вида

(5.4)

где k , Т - коэффициент передачи и постоянная времени звена.

Примерами этого звена служат сервопривод, охваченный жесткой обратной связью (см. рис.18.1), судовой дизель без регулятора (рис.22.1), холодильная камера (рис. 5.2,а).

Переходный процесс описывается выражением

(5.5)

где вместо x =1( t ), как должно быть для переходного процесса, принято фактическое значение сигнала x, благодаря чему рассчитывается реакция звена на скачок произвольной величины.

График переходного процесса приведён на рис. 5.2,б. Установившееся значение y _уст, равное kx, достигается на бесконечности: t ® ¥ . Время переходного процесса t _пп , определяемое по моменту окончательного вхождения графика в 5% зону допуска от у _уст, составляет 3 T . Звено обладает самовыравниванием. Свойство самовыравнивания состоит в том, что звено самостоятельно без применения дополнительного регулирования приходит к постоянному по величине установившемуся значению.

3. Инерционное звено 2-го порядка имеет передаточную функцию

(5.6)

Особенность звена в том, что его характеристическое уравнение имеет действительные корни.

Примером этого звена служит центробежный датчик скорости (рис.10.1) при большой силе F _Г гидравлического трения.

Переходный процесс описывается выражением

(5.7)

где с₁ и с₂ - постоянные интегрирования.

График переходного процесса (рис.5.3а) имеет точку перегиба. Время переходного процесса можно определить только графически.

4. Колебательное звено имеет передаточную функцию

(5.8)

где T - период свободных (незатухающих) колебаний;

x - параметр затухания, принимающий значения 0< x <1.

Особенность звена в том, что его характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни.

Примером этого звена служит центробежный датчик скорости (рис.10.1) при малой силе F _Г гидравлического трения.

Переходный процесс описывается выражением

(5.9)

где - резонансная частота с учётом затухания колебаний.

График переходного процесса приведён на рис.5.3б.

Виды типовых интегрирующих звеньев:

1. Идеальное интегрирующее звено имеет передаточную функцию и дифференциальное уравнение

(5.10)

где k - коэффициент размерности, равный отношению размерностей выходного и входного сигналов;

T - постоянная времени интегрирующего звена, определяющая скорость изменения выходного сигнала.

Примером данного звена является простой гидравлический сервопривод (рис.17.1).

Переходный процесс описывается выражением

(5.11)

и имеет графиком прямую линию (рис.5.4а).

Интегрирующее звено не имеет установившегося значения и, поэтому, самовыравниванием не обладает и не имеет статической характеристики.

2. Инерционное интегрирующее звено имеет передаточную функцию и дифференциальное уравнение

(5.12)

Примером инерционного интегрирующего звена является судно (рис.29.1), если входным сигналом считать угол поворота руля, а выходным - курс судна.

Переходный процесс звена описывается выражением

(5.13)

и имеет график, приведённый на рис.5.4, б.

3. Изодромное звено имеет передаточную функцию и дифференциальное уравнение

(5.14)

Примером изодромного звена является упруго присоединённый катаркт (рис.5.5а), если входным сигналом считать силу F, а выходным - перемещение точки приложения этой силы.

Переходный процесс описывается выражением

(5.15)

а график приведён на рис.5.5б.

Виды типовых дифференцирующих звеньев:

1. Идеальное дифференцирующее звено имеет передаточную функцию и описывается дифференциальным уравнением

(5.16)

Примером идеального дифференцирующего звена можно считать электрический датчик частоты вращения (тахометр), если входным его сигналом считать угол a поворота вала ротора, а выходным - снимаемое с якоря напряжение u (рис.5.6а). При этом моментом инерции датчика нужно пренебречь.

Переходный процесс для идеального дифференцирующего звена имеет вид дельта-импульса d ( t ), который физически нереализуем.

Для его реализации потребовалось бы скачкообразное (мгновенное) изменение углового положения ротора, для чего потребовалось бы приложить к ротору бесконечно большую силу, что невозможно. Поэтому график переходного процесса для идеального дифференцирующего звена не строится.

2. Инерционное (реальное) дифференцирующее звено имеет передаточную функцию и дифференциальное уравнение

причём (5.17)

Примером этого типа звена является датчик скорости (рис.5.6а), в котором учтена инерционность ротора. Также инерционным дифференцирующим звеном является гидравлический демпфер (рис.5.6б), если входным сигналом х считать перемещение поршня, а выходным у - перемещение цилиндра.

Переходный процесс описывается выражением

(5.18)

и имеет график, приведённый на рис.5.6, в.

Все дифференцирующие звенья обладают самовыравниванием, но не имеют статической характеристики, так как различным по величине входным сигналам x в установившемся режиме соответствует одно и то же значение выходного сигнала у=0.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 705; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!