ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСТИМЫХ НАСТРОЕК САУ

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 33Следующая ⇒

Под устойчивостью линейной САУ понимают свойство затухания переходного процесса при t ® ¥, т.е. переходный процесс имеет установившееся значение.

Учитывая то, что в линейных САУ по существу рассматриваются линеаризованные системы, то указанный вид устойчивости справедлив при малых отклонениях от первоначального устойчивого состояния. Эту устойчивость называют также "устойчивостью в малом". Иллюстрации такой устойчивости приведены на рис.7.1.

Для дизеля, центробежного датчика частоты вращения вычисляют показатель - фактор устойчивости - см. (11.5), (21.2).

Свойство устойчивости для САУ является обязательным, так как неустойчивая САУ фактически неработоспособна.

Свойство устойчивости может быть определено по графику переходного процесса (рис.7.1г). Однако расчёт и построение графика переходного процесса требует больших вычислений. Проще установить устойчивость без построения графика h ( t ), а только по корням характеристического уравнения изображения переходного процесса h ( p ). Каждому корню характеристического уравнения соответствует свой член, входящий как слагаемое в выражение h ( t ) переходного процесса. Таблица такого соответствия для распространённых случаев имеет вид:

Таблица 7.1 - Корни характеристического уравнения

Тип корня характеристического уравнения	Член в h(t)	Переходный процесс
1. p=0	С	Устойчив
2. p ₁ =0, p ₂ =0 (два нулевых корня)	С × t	Неустойчив
3. p= a (действительный корень)		Устойчив при a <0 и неустойчив при a >0
4. p= a ± j b (комплексные корни)		Устойчив при a <0 и неустойчив при a >0
5. p = ± j b (корни чисто мнимые)		На грани устойчивости

Оценка устойчивости либо по графику переходного процесса, либо по корням характеристического уравнения имеет тот недостаток, что её невозможно в общем случае применить к САУ, в передаточной функции которой содержится хотя бы один буквенный коэффициент, так как не существует аналитических методов решения алгебраических уравнений (именно таким уравнением является характеристическое уравнение САУ) выше 3-й степени. По этой же причине неприменима указанная оценка устойчивости на этапе синтеза САУ.

В ТАУ для оценки устойчивости применяются критерии устойчивости. Критериями устойчивости называются совокупность процедур, с помощью которых можно установить факт устойчивости САУ без нахождения корней характеристического уравнения. Существуют различные виды таких критериев как алгебраических, так и частотных. Ниже рассмотрены критерии Гурвица и Найквиста.

Критерий Гурвица алгебраический. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.

Пусть замкнутая САУ имеет следующую передаточную функцию

(7.1)

Из коэффициентов характеристического многочлена

(7.2)

составляем следующую матрицу

(7.3)

Порядок заполнения матрицы следующий. Сначала по диагонали матрицы располагают коэффициенты от a ₁ до a_n. Затем над диагональными элементами располагают коэффициенты с возрастающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0. Далее под диагональными элементами располагают коэффициенты с убывающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0.

Формулировка критерия Гурвица: САУ устойчива, если все коэффициенты характеристического многочлена положительны и положительны все n главных (диагональных) определителей Гурвица матрицы (7.3):

(7.4)

Последний определитель не вычисляют, так как его знак совпадает со знаком D _n _-1:

D _n = a_n × D _n _-1 (7.5)

Если хотя бы один определитель Гурвица отрицателен, то САУ неустойчива. Если имеется хотя бы один определитель Гурвица равен нулю при остальных положительных, то САУ находится на границе устойчивости.

Числовой пример.

Определить устойчивость САУ с передаточной функцией

(7.6)

Составляем матрицу Гурвица и главные определители

(7.7)

Оба определителя положительны, поэтому САУ устойчива.

Если передаточная функция САУ содержит хотя бы один буквенный коэффициент, значение которого может быть любым числом, то с помощью критерия Гурвица можно определить допустимые по условию устойчивости значения такого коэффициента. При двух буквенных коэффициентах возможно совместное определение допустимых значений таких коэффициентов и выделение областей устойчивости на плоскости этих коэффициентов. Покажем это на примере.

Пусть САУ управления курсом судна, представленная на рис.7.2, состоит из двух звеньев - авторулевого и судна. Передаточные функции авторулевого и судна имеют вид, соответственно,

(7.8)

Параметром настройки авторулевого является коэффициент передачи K. Постоянная времени T судна изменяется от 10 с при порожнем судне до 60 с при полностью загруженном. Необходимо найти такие значения параметра K, при которых САУ устойчива при изменении загрузки судна.

Определяем передаточную функцию замкнутой САУ

(7.9)

Составляем матрицу Гурвица и вычисляем 2-й определитель:

(7.10)

С учётом положительности всех коэффициентов характеристического многочлена при условии (7.10) САУ будет устойчива при одновременном выполнении следующей системы неравенств

(7.11)

САУ будет находиться на границе устойчивости, если будет выполнено хотя бы одно из равенств

. (7.12)

Другие два неравенства должны быть типа (7.11).

Каждое из равенств (7.12) является на плоскости T - K границей области устойчивости (рис.7.3). Штриховкой обозначены области устойчивости по отношению к линиям границы устойчивости. Общая область a 0 d для всех заштрихованных областей является областью устойчивости САУ.

Пусть при порожнем судне с Т_пор установлен коэффициент передачи K ₁ регулятора. Этот состояние САУ отмечено точкой 1, лежащей в области устойчивости. Если после загрузки судна значение T увеличится до T _груж, то при том же K ₁ состояние САУ в точке 2 будет неустойчивым. Необходимо будет увеличить K до значения K ₃, чтобы система оказалась в точке 3. Область, ограниченная ломаной линией abcd, будет областью устойчивости при любой загрузке судна.

Из частотных критериев чаще всего применяется критерий Найквиста. Для оценки устойчивости используется частотная характеристика разомкнутой САУ. САУ должна иметь структурную схему с единичной обратной связью типа такой, какая приведена на рис.7.2. Формулировка критерия Найквиста зависит от вида передаточной функции W _раз ( p ) разомкнутой САУ, т.е. САУ без обратной связи. Применительно к рис.7.2

(7.13)

Приведём формулировку критерия Найквиста лишь для одного случая.

Если разомкнутая САУ устойчива, то замкнутая САУ будет устойчива при условии, что годограф частотной характеристики W _раз ( j w ) не будет охватывать точку с координатами (-1, j 0).

Варианты расположения годографа приведены на рис.7.4.

Рисунок 7.4 - Критерий Найквиста

С помощью критерия Найквиста можно решать все те же задачи, что и с помощью критерия Гурвица. Преимущество критерия Найквиста в том, что он лучше всего приспособлен для решения задач синтеза САУ.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 395; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!