ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ САУ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ.
ТИПОВЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ И РЕАКЦИЯ НА НИХ
Линеаризация дифференциальных уравнений
Все возможные элементы САУ характеризуются набором входных и выходных сигналов. Общее название элементов - звенья. Для того чтобы решать задачи методами ТАУ звенья должны быть описаны, в общем случае, дифференциальными и, в редких случаях - алгебраическими уравнениями.
Так как все методы и результаты автоматики базируются на свойствах решений дифференциальных уравнений, то первостепенное значение имеет умение просто и быстро решать дифференциальные уравнения.
Наиболее простыми и систематически проработанными являются методы решения линейных дифференциальных уравнений. Результаты, полученные в линейных САУ, широко используются также в расчётах нелинейных и импульсных систем.
Если не накладывать ограничений на пределы изменения входных сигналов реальных, физических объектов, то они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Например, линейные электронные усилители при больших уровнях входных сигналов входят в насыщение. В то же время физические объекты при малых изменениях входных сигналов практически не проявляют нелинейных свойств и, поэтому, могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями. Операция замены нелинейного дифференциального уравнения приближённым линейным называется линеаризацией.
|
|
|
Основные моменты линеаризации (рис.2.1):
1. На графике нелинейной функции отмечается точка 0 начального режима - наиболее вероятная точка работы звена.
2. В этой точке проводится касательная и при малых отклонениях d x истинная кривая заменяется отрезком касательной прямой.
3. Вводится новая система координат - отклонения D x и D y. В этих координатах линеаризованное уравнение имеет нулевые начальные условия.
Техника линеаризации
Пусть имеется следующее дифференциальное уравнение, записанное в форме
(2.1)
Тогда линеаризованное уравнение будет иметь вид:
(2.2)
Рассмотрим более подробно технику линеаризации на примере.
Линеаризовать дифференциальное уравнение (ДУ)
(2.3)
при начальных условиях:
(2.4)
Проведем линеаризацию как указано выше:
(2.5)
Далее будем использовать только линейные ДУ и потому знак D будем опускать:` 
(2.6)
Уравнение (2.3) линеаризовано: оно заменяет исходное нелинейное дифференциальное уравнение в малой окрестности d около точки начальных условий.
Преобразование Лапласа
Линейные ДУ могут быть записаны в естественной, символической и операторной формах.
|
|
|
Естественная форма:
(2.7)
Если производная имеет порядок не выше 2-го, то можно использовать верхние точки в обозначениях производных: 
.
Символическая форма:
Производная n-го порядка заменяется символом 
.
После замены уравнение (2.7) примет более простой вид:
(2.8)
Уравнение, записанное в такой форме, можно преобразовывать как алгебраическое. Однако решение уравнение не упрощается.
Операторная форма:
В основе операторной формы записи уравнения лежит преобразование Лапласа: 
(2.9)
Если применить преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (2.7), то можно получить следующее операторное уравнение:
(2.10)
Следует обратить внимание на то, что значение p в операторной и символической формах совершенно различно – если в первой форме p является символом, и вводится исключительно для упрощения записи уравнения, то во втором – это комплексная переменная, введение которой влечет за собой простой подход к решению уравнения.
Операторная форма записи является основной формой, используемой в теории автоматического управления.
|
|
|
Передаточная функция
Учитывая то, что звенья описываются дифференциальными уравнениями, реальные сигналы заменяются их изображениями по Лапласу и дальнейшие расчеты ведутся в операторной форме.
|
|
Передаточная функция W ( p )– это отношение изображений выходного y ( p ) и входного x ( p ) сигналов при нулевых начальных условиях.
Таблица преобразований Лапласа
В ТАУ подавляющее большинство задач решается с использованием передаточной функции W ( p ) и нескольких простейших функций (табл.2.1)
Таблица 2.1 - Преобразование Лапласа
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 1791; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!