О вычислении собственного вектора

Лемма 5.	Последняя компонента собственного вектора якобиевой матрицы не равна нулю.
Док–во.	Пусть . Предположим, что . Тогда – противоречие, значит .

Собственный вектор якобиевой матрицы мы можем, положив , вычислить по формулам

или решив систему

с неособенной матрицей.

Лекция 13. Метод вращений (Якоби)

Для самосопряженной матрицы существует унитарная матрица (столбцы которой – собственные векторы матрицы ):

, где .

Идея:

построить : , тогда на диагональные элементы будут приближать собственные значения, а столбцы – собственные векторы матрицы .

Определим .

Лемма 1.	Для любых квадратной матрицы и унитарной матрицы имеем .
Док–во.	Если , то

В качестве матриц будем выбирать элементарные матрицы вращения.

Лемма 2.	Пусть , , где – элементарная матрица вращения, тогда .
Док–во.	Заметим, что изменились только строки и столбцы с номерами , . Тогда, используя лемму 1, получим откуда следует утверждение леммы.

Выбор вращения

Для простоты будем полагать, что матрица вещественная. Выразим разность через элементы матрицы .

Лемма 3.	Пусть , , где – элементарная матрица вращения ( – угол вращения), тогда
Док–во.	Требуемые равенства выводятся из соотношения .

Лемма 4.	Пусть , , где – элементарная матрица вращения такая, что то .
Док–во.	Требуемое неравенство следует из равенства и оценки .

Следующая лемма обеспечивает существование для леммы 4 матрицы .

Лемма 5.	Решением уравнения при является угол такой, что
Док–во	осуществляется непосредственной проверкой.