Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
Как и раньше, через 
будем обозначать элементарную матрицу вращения, отличающуюся от единичной матрицы
двумя диагональными элементами: 
, и двумя внедиагональными элементами: 
, 
.
Выполним и
| 1–й шаг. | Исключение элементов 1–го столбца матрицы  , начиная с 3–его, с помощью последовательного умножения на унитарные матрицы  :  .
|
| 2–й шаг. | Исключение элементов 2–го столбца матрицы  , начиная с 4–ого, с помощью последовательного умножения на унитарные матрицы  :  .
|
| … | ………………….. |
| k–й шаг. | Исключение элементов k–го столбца матрицы  , начиная с (k+2)–ого, с помощью последовательного умножения на матрицы  :  .
|
| … | ………………….. |
| (n–2)–й шаг. | Исключение последнего элемента (n-2)–го столбца матрицы  с помощью умножения на матрицу  :
 .
|
,
.
Если 
, то 
,
т.е. поиск собственных значений самосопряженной матрицы сводится к задаче на собственные значения якобиевых трехдиагональных матриц.
| Лемма 2. | Самосопряженная матрица подобна трехдиагональной вещественной матрице. |
| Док–во. | Только что мы привели самосопряженную матрицу к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия:  .
Определим матрицу  : (предполагая  )
 ,  ,...,  .
Тогда  ,  .
|
Якобиевы матрицы
Вещественная матрица
,
называется якобиевой (у нас 
).
| Лемма 3. | Пусть  – якобиева матрица, тогда
1.  
2. если  , то  , если  , то  .
|
| Док–во | оставляется читателю в качестве упражнения. |
| Лемма 4. | Собственные значения якобиевой матрицы  попарно различные (простые).
|
| Док–во. | Т.к. размерность ядра симметричной матрицы  совпадает с кратностью  , а из леммы 3 следует, что у вырожденной якобиевой матрицы  минор  , то  и  простое собственное значение матрицы .
|
|
|
|
| Теорема. | Пусть – якобиева матрица, тогда
 ,
если  приписать знак  .
|
| Док–во. | 1. Если  , то это лемма 1.
|
2. Пусть 
. Пусть 
.
Определим 
и рассмотрим якобиевы матрицы 
.
Т.к. 
, то
а) 
(т.к. определитель матрицы равен произведению ее собственных значений),
б) 
,
в) 
,
(т.к. из леммы 4 следует, что 
простое и отрицательных собственных значений у матрицы 
на одно больше, чем у матрицы 
),
г) 
.
Из леммы 1, а) и г) следует, что
,
,
Подсчитаем эти числа:
Из б) следует, что если 
и 
, то перемена знака происходит (или нет) одновременно в этих последовательностях.
Случай 
.
Из леммы 3 имеем 
, отсюда и из б) следует 
и на участках
по одной перемене знака.
Случай 
. Отсюда, из в) и г) следует, что
, 
,
.
Следовательно, (если приписать знак ) последовательности миноров матриц 
и имеют одинаковые знаки. Теорема доказана.
О вычислении ЧПЗ
Для вычисления 
якобиевой матрицы достаточно знать знак каждого 
. Если
(обычно выбирают 
), то 
и 
. Нормировку можно применять неоднократно, что позволит избежать быстрого роста (переполнения) чисел 
.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 32; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!