Корректность задачи на собственные значения
Известно, что все собственные значения матрицы 
являются корнями характеристического полинома
,
а коэффициенты 
– непрерывные функции элементов матрицы .
Пусть 
– матрица с “малыми” по величине элементами, 
– характеристический полином матрицы 
. Следствием непрерывности 
как функции элементов матрицы является
Лемма 1. 
.
| Лемма 2. | В любом круге на комплексной плоскости с центром в точке  и радиуса  лежит хотя бы один корень полинома  .
|
| Док–во. | Разложим в ряд Тейлора в точке :
 , где  .
Пусть  – корни полинома  , среди которых корень с минимальной абсолютной величиной имеет номер  .
Так как  , то  (корень полинома  ) лежит в круге радиуса .
|
| Лемма 3. | Если  – корни полинома , то  нумерация корней  полинома  :  при  .
|
| Док–во | методом матиндукции по степени полинома.
 .
Пусть лемма верна при  .
 : из леммы 2  .
Т.к. 
и  , то  .
|
Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы 
Идея метода: для заданного вектора 
рассмотрим его 
–ю итерацию 
,
если 
– собственные значения,
– соответствующие им собственные векторы, то
где 
– коэффициенты (неизвестные!)
разложения вектора по базису .
Итерационный процесс
называется степенным методом вычисления максимального собственного значения матрицы :
, 
,
если проекция начального вектора на линейную оболочку собственных векторов, соответствующих 
, не равна 0.
Док–во. Пусть 
– собственные значения,
|
|
|
– собственные векторы матрицы , и
Тогда 
и,
т.к. 
, 
,
то 
,
.
Замечание. Сходимость степенного метода не зависит от выбора в нем векторной нормы, т.к. все нормы в 
эквивалентны.
Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
Задача вычисления минимального собственного значения матрицы легко сводится к задаче вычисления максимального собственного значения матрицы 
, где 
, так как 
.
Оценку для легко найти: 
. Тогда
итерационный процесс
называется степенным методом вычисления минимального собственного значения матрицы : 
,
если проекция начального вектора на линейную оболочку собственных векторов, соответствующих 
, не равна 0.
Справедливость этого утверждения является следствием сходимости степенного метода вычисления спектрального радиуса матрицы 
.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!