Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения

Предположим, что собственное значение и соответствующий ему собственный вектор (какой–то!) матрицы мы приближенно (например степенным методом) вычислили: , .

Построим симметричную положительно определенную матрицу , где матрица – ортогональный проектор на подпространство , ортогональное вектору .

Докажите, что спектр матрицы (т.е. , ) состоит из собственных значений матрицы и нуля (вектор принадлежит ее ядру).

Отсюда следует, что, если (а степенной метод такую сходимость гарантирует), то .

Следовательно, применяя степенной метод для матрицы , мы получим приближение к и – очередным собственным значению и вектору матрицы .

Эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока мы не получим все собственные значения.

Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)

Для самосопряженной матрицы имеет место закон инерции:

если матрицу конгруэнтным преобразованием привести к диагональному виду: , где , то от матрицы (способа преобразования) не зависит

· – количество отрицательных элементов,

· – количество нулевых элементов,

· – количество положительных элементов на диагонали .

Нам известно (из теоремы и алгоритма –разложения), что если все , то .

Следовательно, в этом случае за конечное число действий мы можем определить .

Матрица преобразованием подобия ортогональной матрицей (конгруэнтным преобразованием) из собственных векторов приводится к диагональному виду . Следовательно,

· = количеству отрицательных,

· = количеству нулевых,

· = количеству положительных собственных значений матрицы ,

и, используя –разложение, мы можем эти числа определить.

Подытожим эти рассуждения в виде следующей леммы.

Лемма 1.	Если матрица и , то количество ее отрицательных собственных значений – число перемен знака.
Док–во	леммы оставляется в виде упражнения.

Идея метода бисекций вычисления

, т.к. , т.е. все собственные значения матрицы лежат в этом интервале.

Определим в какой половине интервала лежит . Для этого вычислим – количество собственных значений меньших . Если , то , иначе .

Через таких шагов получим: , т.е. мы можем получить оценку искомого собственного числа с любой точностью.

---

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!