Параметры многоканальной СМО с ожиданием
| № | Параметры | Обозначения, значения |
| 1 | Число каналов обслуживания | 
|
| 2 | Интенсивность входящеro простейшеro потока заявок Пвх | in 
(λ не зависит от времени)
|
| 3 | Произвольность каждого канала интeнсивность простейшеro потока обслуживаний Поб каждым каналом (среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом за единицу времени при непрерывной eгo работе ) | in 
(μ не зависит от времени)
|
| 4 | Максимальная длина очереди максимальное число мест в очереди | 
|
| 5 | Соотношение между n, λ и μ | 
|
Характеристики функционирования многоканальной СМО с ожиданием
| № | Предельные характеристики | Обозначения, формулы |
| 1 | Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик) | 
|
| 2 | Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящейся на один канал | 
|
| 3 | Вероятность тoгo, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы) | 
|
| 4 | Вероятности состояний | 
|
| 5 | Вероятность отказа | 
|
| 6 | Вероятность того, что заявка будет прянята в СМО | 
|
| 7 | Относительная пропускная способность | 
|
| 8 | Абсолютная пропускная способность | 
|
| 9 | Среднее число занятых каналов – среднее число заявок, находящихся под обслуживанием | 
|
| 10 | Среднее число заявок, находящихся в очереди | 
|
| 11 | Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием) | 
|
| 12 | Среднее время ожидания заявки в очереди | 
|
| 13 | Среднее время пребывания заявки в системе | 
|
| 14 | Среднее время обслуживания одной заявки | 
|
|
|
|
Многоканальная СМО с неограниченной очередью
Пусть дана система S, имеющая п каналов обслуживания, на которые поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Пусть поток обслуживания также простейший и имеет интенсивность μ. Очередь на обслуживание не ограничена.
По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы: S 0 , S 1 , S 2 ,…, Sk ,… Sn , где Sk – состояние системы, когда в ней находится k заявок (максимальное число заявок под обслуживанием - n). Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке 6:
Рисунок 6- Многоканальная СМО с неограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживаний меняется в зависимости от состояния системы: kμ при переходе из состояния Sk в состояние Sk -1 так как может освободиться любой из kканалов; после того, как все каналы заняты обслуживанием, интенсивность потока обслуживаний остается равной пμ, при поступлении в систему следующих заявок.
Для нахождения финальных вероятностей состояний получим формулы аналогично тому, как это было сделано для одноканальной системы.
|
|
|
(52)
Отсюда формулы для финальных вероятностей выражаются через
(53)
Для нахождения р0 получим уравнение:
(54)
Для слагаемых в скобках, начиная с (n + 2)-го, можно применить формулу нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем ρ/n:
(55)
Окончательно получим формулу Эрланга для нахождения вероятности простоя системы:
(56)
Приведем формулы для расчета основных показателей эффективности работы системы.
Система будет справляться с потоком заявок, если
выполнено условие:
, (57)
которое означает, что число заявок, поступивших в систему за единицу времени, не превосходит числа заявок, обслуженных системой за это же время. При этом вероятность отказа в обслуживании равна нулю.
Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события, то есть единице:
|
|
|
(58)
Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженныхсистемой в единицу времени:
(59)
Если система справляется с потоком заявок, то в стационарном режиме интенсивность выходящего потока равна интенсивности потока поступающих в систему заявок, так как обслуживаются все заявки:
ν=λ. (60)
Так как каждый канал обслуживает μ заявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:
(61)
Среднее время обслуживания каналом одной заявки;
. (62)
Вероятность того, что при поступлении в систему заявка окажется в очереди, равна вероятности того, что в системе находится более чем п заявок:
|
|
|
(63)
Число заявок, находящихся под обслуживанием, равно числу занятых каналов:
(64)
Среднее число заявок в очереди:
(65)
Тогда среднее число заявок в системе:
(66)
Среднее время пребывания заявки в системе (в очереди):
(67)
(68)
Многоканальную СМО с неограниченной очередью можно рассмотреть в системе Mathcad.
Пример 6:
Салон-парикмахерская имеет 5 мастеров. В час пик интенсивность потока клиентов равна 6 человек. В час. Обслуживание одного клиента длится в среднем 40 минут. Определить среднюю длину очереди, считая ее неограниченной.
Фрагмент решения задачи в Mathcad.
Пример 7:
В железнодорожной кассе имеются 2 окна. Время на обслуживания одного пассажира 0,5 минут. Пассажиры подходят к кассе по 3 человека. Определить все характеристики системы.
Фрагмент решения задачи в Mathcad.
Продолжение решения задачи в Mathcad.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 403; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!