Решение задачи можно осуществить в Mathcad .

Пример 2:

Обслуживаются автомобили на посту мойки для автомобилей. Автомобиль, прибывший в момент , когда пост занят, получает отказ. Интенсивность потока автомобилей λ=1 ( автомобиль в час). Средняя продолжительность обслужив. Тобс=1,8 часа. Найти в установившемся режиме: относит. пропускную способность Q; абсолютную пропускную способность А; вероятность отказа Ротк. сравнить фактическую способность с номинальной, которая была бы , если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали бы один за другим без перерыва.

Фрагмент решения задачи в Mathcad .

Многоканальная СМО с отказами

Задача исследования таких СМО впервые возникла в области телефонии и была решена в 1909 г. А.К. Эрлангом.

Состояния системы занумеруем по числу занятых каналов. Для СМО с отказами это означает, что мы нумеруем состояния по числу заявок, находящихся в системе, т.е. под обслуживанием, поскольку каждый канал в любой момент времени либо свободен, либо обслуживает только одну заявку. Таким образом, СМО может находиться только в одном из следующих п + 1 состояний:

Рисунок 4- функционирование системы S .

Если СМО находится в состоянии S_k (k=0,1,…,n-1), т. е. когда k каналов заняты обслуживанием заявок, а остальные n-k каналов свободны, то перескок ее в состояние S_k ₊₁ происходит при поступлении на вход новой заявки. Таким образом, по стрелкам слева направо из любого состояния в соседнее состояние справа систему переводит один и тот же входящий поток заявок П_вх с интенсивностью λ. Следовательно, плотность вероятности перехода λ _k _, _k ₊₁ (k = 0, 1, ..., n-1) из любого k -го состояния в (k+1)-е состояние равна λ:

(7)

что и проставлено над стрелками, слева направо.

Т.к. входящий поток П_вх простейший, то он является ординарным, т.е. заявки поступают по одной. Поэтому СМО, меняя свои состояния слева направо, не может перескочить через состояние, а переходит только в соседнее справа состояние. По этой причине на графе (рисунок 4) отсутствуют стрелки, перескакивающие через состояния слева направо.

Вероятность того, что одновременно, точно в один и тот же момент, освободятся более одного канала, пренебрежимо мала, т.е. такие события практически невозможны. Поэтому на графе нет стрелок, "перескакивающих" через состояния справа налево.

На переход занятого канала в состояние свободного действует простейший поток обслуживания П_об с интенсивностью μ. Но тогда переход СМО в целом из состояния S_k (в котором k каналов заняты, а n - k свободны) в состояние S_k _-1 (в котором по сравнению с предыдущим освободился один из k занятых каналов) происходит под воздействием суммарного потока обслуживаний П ^k _об_, представляющего собой результат наложения k потоков обслуживаний П_об, действующих на каждый из k занятых каналов. При этом интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков р₀,:

(8)

или, с учетом формулы: (9)

получим формулы Эрланга:

, (10)

где ρ - показатель нагрузки канала обслуживания.

Формулы для вероятностей предельных состояний буду иметь вид:

(11)

Приведем формулы для расчета основных показателей эффективности работы системы.

Число каналов, которые необходимо иметь, чтобы система справлялась с потоком заявок, определим из условия

. (12)

В этом случае выполняется соотношение:

, (13)

которое означает, что число заявок, поступивших в систему за единицу времени, не превосходит числа заявок, обслуженных системой за это же время.

Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему все п ее каналов будут заняты:

(14)

Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события:

(15)

Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженных системой в единицу времени:

(16)

Так как каждый канал обслуживает μ заявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:

(17)

(18)

или

(19)

Формула Литтла показывает, что среднее время Т_сис пребывания заявки в СМО равно среднему числу заявок в системе N , деленному на интенсивность λ входящего потока заявок, или, другими словами, среднее время Т_сис пребывания заявки в СМО прямо пропорционально среднему числу заявок в системе Т_сис с коэффициентом прямой пропорциональности, равным обратной величине интенсивности λ входящего потока заявок.

Среднее время обслуживания каналом одной заявки:

(20)

Поток обслуживания П_об каждым каналом будет простейшим с интенсивностью:

(21)

Где - среднее время обслуживания одной заявки.

Предельные характеристики эффективности функционирования n - канальной СМО с отказами

№ n/n	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Вероятности состояний СМО p_k, k = 0, 1, …, n , выраженные через интенсивность входящего потока λ и интенсивность потока обслуживаний µ
2	Приведенная интенсивность входящего потока – трафик (показатель нагрузки СМО)	где - среднее время обслуживания одной заявки одним каналом; - средний интервал времени между двумя соседними заявками во входящем потоке
3	Вероятность состояний СМО р , k =0, 1, ..., n , выраженные через трафик ρ
4	Вероятность состояний СМО р , k =0, 1, ..., n , выраженные через средние времена и
5	Вероятность отказа р
6	Вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена
7	Относительная пропускная способность
8	Абсолютная пропускная способность
9	Интенсивность выходящего потока П обслуженных заявок
10	Среднее число занятых каналов
11	Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла)

Задача 3.1.

Заявки на телефонные переговоры в переговорный пункт поступают с интенсивностью 90 заявок в час. Считая среднюю продолжительность разговора равной 3 минутам, определить оптимальное число телефонных номеров, чтобы 90% всех заявок на переговоры были удовлетворены.

Многоканальную СМО с отказамиможно решить в Mathcad.

Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 590; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!