Параметры многоканальной СМО с ожиданием

И ограничением на длину очереди

№ n/n	Параметры	Обозначения, значения
1	Число каналов обслуживания
2	Интенсивность входящего простейшего потока заявок П_вх	in (λ не зависит от времени)
3	Производительность каждого канала – интенсивность простейшего потока «обслуживаний» П_об каждым каналом (среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом за единицу времени при непрерывной его работе)	in (μ не зависит ни от времени, ни от канала)
4	Максимальная длина очереди – максимальное число мест в очереди

Характеристики функционирования многоканальной СМО

С ожиданием и ограничением на длину очередей

№ n/n	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)
2	Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящейся на один канал
3	Вероятность того, что все каналы, свободны (вероятность простаивания всей системы)
4	Вероятность состояний
5	Вероятность отказа заявке
6	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
7	Относительная пропускная способность СМО
8	Абсолютная пропускная способность в СМО
9	Среднее число занятых каналов (т.е. среднее число заявок, находящихся под обслуживанием)
10	Среднее число заявок находящихся в очереди
11	Среднее число заявок, находящихся в СМО ( как в очереди, так и под обслуживанием)
12	Среднее время ожидания заявки в очереди
13	Среднее время пребывания заявки в системе
14	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам – как обслуженным, так и получившим отказ

Фрагмент решения задачи в Mathcad.

Продолжение задачи в Mathcad.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока = 0,95 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора =1 мин. Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы.

Задача 2

В одноканальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью = 0,5 заявки в минуту. Время обслуживания заявки имеет показательное распределение с =1,5 мин. Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы.

Задача 3

В вычислительном центре работает 5 персональных компьютеров (ПК). Простейший поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность = 10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты. Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания (ВЦ).

Задача 4

В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью = 1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает пятью независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (обслуживание заявок). Очередь заявок не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Определите вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.

Задача 5

На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности = 4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может находиться не более 5 автомобилей. Определите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.

Задача 6

На промышленном предприятии решается вопрос о том, сколько потребуется механиков для работы в ремонтном цехе. Пусть предприятие имеет 10 машин, требующих ремонта с учетом числа ремонтирующихся. Отказы машин происходят с частотой = 10 отк/час. Для устранения неисправности механику требуется в среднем = 3 мин. Распределение моментов возникновения отказов является пуассоновским, а продолжительность выполнения ремонтных работ распределена экспоненциально. Возможно организовать 4 или 6 рабочих мест в цехе для механиков предприятия. Необходимо выбрать наиболее эффективный вариант обеспечения ремонтного цеха рабочими местами для механиков.

Задача 7

В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. Поток сотрудников, получающих заработную плату, - простейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения. Вычислите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме и определите целесообразность приема третьего кассира на предприятие, работающего с такой же производительностью, как и первые два.

Задача 8

В инструментальном отделении сборочного цеха работают три кладовщика. В среднем за 1 мин. за инструментом приходят 0,8 рабочего (= 0,8). Обслуживание одного рабочего занимает у кладовщика = 1,0 мин. Очередь не имеет ограничения. Известно, что поток рабочих за инструментом - пуассоновский, а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения. Стоимость 1 мин. работы рабочего равна 30 д. е., а кладовщика - 15 д. е. Найдите средние потери цеха при данной организации обслуживания в инструментальном отделении (стоимость простоя) при стационарном режиме работы.

Задача 9

Билетная касса работает без перерыва. Билеты продает один кассир. Среднее время обслуживания - 2 мин. на каждого человека. Среднее число пассажиров, желающих приобрести билеты в кассе в течение одного часа, равно = 20 пасс/час. Все потоки в системе простейшие. Определите среднюю длину очереди, вероятность простоя кассира, среднее время нахождения пассажира в билетной кассе (в очереди и на обслуживании), среднее время ожидания в очереди в условиях стационарного режима работы кассы.

Задача 10

Пост диагностики автомобилей представляет собой одноканальную СМО с отказами. Заявка на диагностику, поступившая в момент, когда пост занят, получает отказ. Интенсивность потока заявок на диагностику = 0,5 автомобиля в час. Средняя продолжительность диагностики = 1,2 часа. Все потоки событий в системе простейшие. Определите в установившемся режиме вероятностные характеристики системы.

Задача 11

Автозаправочная станция представляет собой СМО с одним каналом обслуживания и одной колонкой. Площадка при АЗС допускает пребывание в очереди на заправку не более трех автомобилей одновременно. Если в очереди уже находится три автомобиля, очередной автомобиль, прибывший к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток автомобилей, прибывающих для заправки, имеет интенсивность = 0,7 автомобиля в минуту. Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Все потоки простейшие. Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.

Задача 12

На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью = 2 состава в час. Среднее время, в течение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 час. Составы, прибывающие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеется три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия заняты, становится в очередь на внешний путь. Все потоки событий простейшие.

При установившемся режиме найдите:

-среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так и вне его);

- среднее время ожидания в парке прибытия и на внешних путях;

-среднее время ожидания состава в системе обслуживания;

-вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях.

Задача 13

Рассматривается работа АЗС, на которой имеется три заправочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь на заправку, дожидаются своей очереди. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятностные характеристики работы АЗС в стационарном режиме.

Задача 14

На станцию технического обслуживания (СТО) автомобилей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограниченна. Среднее время обслуживания одной машины - 2 часа. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятностные характеристики станции технического обслуживания автомобилей.

Задача 15

В вычислительном центре работает 9 персональных компьютеров (ПК). Простейший поток неисправностей имеет интенсивность 0,3 отказа в день. Среднее время устранения одной неисправности одним инженером равно 1,5 час. Компьютеры обслуживают три инженера с одинаковой производительностью. Все потоки событий простейшие. Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:

- три инженера обслуживают все 9 компьютеров, так, что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 3; N = 9;

- каждый из трех инженеров обслуживает по три закрепленных за ним ПК. В этом случае R = 1; N = 3.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.

Задача 16

Малое транспортное предприятие эксплуатирует десять моделей автомобилей одной марки. Простейший поток отказов автомобилей имеет интенсивность = 0,25 отказа в день. Среднее время устранения одного отказа автомобиля одним механиком равно 2 час. Все потоки событий простейшие. Возможны два варианта обслуживания:

-все автомобили обслуживают два механика с одинаковой производительностью;

- все автомобили предприятия обслуживают три механика с одинаковой производительностью.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания автомобилей.

Задача 17

В магазине работает один продавец, который может обслужить в среднем 30 покупателей в час. Поток покупателей простейший с интенсивностью, равной 60 покупателей в час. Все покупатели «нетерпеливые» и уходят, если в очереди стоит 5 человек (помимо обслуживаемых). Все потоки событий простейшие. Определите следующие вероятностные характеристики магазина для стационарного режима работы:

-вероятность обслуживания покупателя;

- абсолютную пропускную способность магазина;

- среднюю длину очереди;

-среднее время ожидания в очереди;

- среднее время всего обслуживания;

- вероятность простоя продавца.

Задача 18

Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью = 3 заявки в час. Среднее время обслуживания одной заявки = 0,5 час. Каждая обслуженная заявка приносит доход 5 д. е. Содержание канала обходится 3 д.е./час. Решите, выгодно ли в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до трех.

Задача 19

Подсчитайте вероятностные характеристики для простейшей одноканальной СМО с тремя местами в очереди при условиях = 4 заявки/час; = 0,5 час. Выясните, как эти характеристики изменятся, если увеличить число мест в очереди до четырех.

Задача 20

Система массового обслуживания - билетная касса с тремя окошками (с тремя кассирами) и неограниченной очередью.

Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем 5 человек за 20 мин. Поток пассажиров можно считать простейшим. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время обслуживания подчинено показательному закону распределения. Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.

Задача 21

Технические устройства (ТУ) могут время от времени выходить из строя (отказывать). Поток отказов ТУ простейший с интенсивностью = 1,6 отказа в сутки. Время восстановления ТУ имеет экспоненциальное распределение. Математическое ожидание времени обслуживания = 0,5 суток. Количество каналов, выполняющих обслуживание ТУ, равно 5 ед. Количество заявок в очереди не ограничено. Определите вероятностные характеристики СМО, выполняющие обслуживание ТУ в установившемся режиме.

Тесты

1. Установите правильную последовательность блоков схемы СМО:

1) каналы обслуживания

2) выходящий поток заявок

3) входящий поток заявок

4) очередь.

2. Под эффективностью функционирования СМО понимают:

1) пропускную способность СМО

2) качество обслуживания заявок

3. Установите соответствие:

Определение показателя эффективности СМО	Название показателя
1. Среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени	А. Коэффициент использования СМО
2. Средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой	Б. Коэффициент загруженности СМО
3. Средняя доля времени, в течение которого CMО занята обслуживанием заявок	В. Относительная пропускная Способность СМО Г. Производительность канала обслуживания Д. Абсолютная пропускная способность СМО

4. Под организацией СМО понимают:

1) характер потока заявок

2) число каналов

3) производительность каналов

4) правила работы СМО

5. Задачи теории массового обслуживания состоят в установлении зависимостей между:

1) эффективностью функционирования СМО и ее организацией

2) организацией СМО и качеством обслуживания заявки

3) качеством обслуживания заявки и скоростью обслуживания

6. Случайный процесс, при котором вероятность любого состояния СМО в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от ее состояний в прошлом, называется...

7. Система массового обслуживания является марковской, если все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние,

1) пуассоновские

2) регулярные

8. Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, СМО является:

1) открытой

2) замкнутой

3) многофазной

4) однофазной

9. Если вероятность попадания на участок Т более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события, поток событий называется:

1) ординарным

2) стационарным

3) без последействия

10. Если вероятность появления того или другого числа событий на участке времени Т зависит от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени этот участок расположен, поток событий называется:

1) ординарным

2) стационарным

3) без последействия

Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 3121; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!