АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 16Следующая ⇒

Рассмотрим алгоритмы, которые легли в основу определения ПФ двухповодковых групп. Их графическая интерпретация позволит более наглядно представить решение поставленных задач.

Группа первого вида

На рис. 6.1 представлена схема группы первого вида.

Заданные параметры: ПФ внешних кинематических пар – , , , , , , , , , , , ; длины звеньев l_AB, l_BC.

Так как каждое из звеньев группы содержит по одной точке, ПФ которых известны, необходимо определить угловые ПФ каждого звена: , , , , , .

Графический способ определения ПФ0 заключается в том, что из точек А и С, положение которых известно, необходимо циркулем сделать засечки радиусами, соответственно, l AB и l CB, на пересечении получить точку B и таким образом получить положение осей звеньев АВ и СВ. Заметим, что засечку можно расположить и по другую сторону от линии АС, что будет соответствовать другому варианту сборки звеньев.

Рисунок 6.1 – Схема группы первого вида

Аналитическое определение ПФ0 может быть выполнено в такой последовательности:

;

b=cosb= .

Если >1, то сборка группы невозможна, то есть засечки радиусами l_AB и l_CB не пересекаются.

b=-arctg( )+ .

Если X _A<X _C, то a=arctg .

Если X _A>X _C, то a= p+arctg .

При X _A=X _C и Y _A<Y_C a= .

При X _A=X _C и Y_A>Y_C a= .

j_AB=a+jb.

Признак сборки jможет принимать значение +1 или –1, что определяется схемой группы, и чаще всего остаётся неизменным для всех положений исследуемого механизма. Исключение может быть в том случае, если при каком-либо значении ОК продольные оси звеньев АВ и СВ совпадают и оказывается необходимым изменить признак сборки.

X_B=X_A+L_ABcosj_AB;

Y_B=Y_A+L_ABsinj_AB.

Если X_B>X_C, j _CB =arctg .

Если X_B<X_C, j _CB = p +arctg .

Если X_B=X _C и Y_B>Y_C, то j_CB=90 °.

Если X_B=X _C и Y_B<Y_C, то j_CB=270 °.

Для определения ПФ1 звеньев группы используем систему уравнений в виде

(6.1)

Дифференцируя эти выражения по ОК, получим

(6.2)

Решая систему уравнений (6.2), получим:

; (6.3)

. (6.4)

Дифференцируя эти выражения ещё раз по ОК, получим:

; (6.5)

. (6.6)

Группа второго вида

На рис. 6.2 представлена схема группы второго вида.

Рисунок 6.2 – Схема группы второго вида

Заданные параметры:

- ПФ точки А вращательной КП: , , , , , ;

- ПФ элементов направляющей, по которой перемещается ползун, если направляющая неподвижна, или камень, если направляющая движется: , , , , , , , , ;

- длина звена l_AB;

- параметр h, определяющий положение шарнира В относительно направляющей.

Заметим, что величина h может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от положения точки В по одну или другую сторону от направляющей.

Следует определить угловые ПФ звена АВ: , , .

Графическое определение ПФ0 заключается в том, что из точки А циркулем радиусом l_AB нужно сделать засечку на прямой, отстоящей от направляющей на величину h.

Из рис. 6.2 видно, что эта задача имеет два решения, соответствующих разным вариантам сборки.

Аналитическое определение φ_АВ может быть выполнено в такой последовательности.

Решая систему уравнений:

(6.7)

где k=tg j _N;

Y_N0=Y_N+ ,

получим

X_B= , (6.8)

где а=1+k²;

p=0,5(2X_A–r₁k+r₂k);

q₀=X_A²–r₁r₂;

r₁=L_AB+kX_N+Y_N0–Y_A;

r₂=L_AB+kX_N–Y_N0+Y_A.

Признак сборки j, соответствующий различным положениями шатуна АВ (см. сплошную и штриховую линии на рис. 6.2), принимает значение +1 или –1 и чаще всего остаётся неизменным для любых положений механизма.

Он может измениться в случае, если шатун АВ проходит через положение, перпендикулярное направляющей ползуна.

Если b₁=p²-(1+k²)q₀<0, то сборка группы невозможна, то есть длина шатуна l_AB оказывается меньше расстояния от точки А до линии, вдоль которой должен перемещаться шарнир В.

Y_B=kX_B–kX_N+Y_N0, (6.9)

k_AB=tg =(Y_B-Y_A)/(X_B-X_A). (6.10)

Если X_B>X_A, то j _AB =arctgk_AB_,

если X_B<X_A, то j _AB = p +arctgk_AB,

если X_B=X_A и Y_B>Y_A, то j _AB= p/2,

если X_B=X_A и Y_B<Y_A, то j _AB=- p/2.

Если j _N=90 и k= ¥, то

(6.11)

ПФ1 можно определить, дифференцируя по ОК выражения (6.7):

(6.12)

где ;

Решая систему уравнений (6.12), получим:

, (6.13)

. 6.14)

Tогда или . (6.15)

Если j _N=90 ° и k= ¥, то, дифференцируя выражение (6.11), получим

(6.16)

Для определения ПФ2 дифференцируем выражения (6.13)…(6.15):

, (6.17)

где ,

Если , то , а следует определить по формуле

, (6.18)

, (6.19)

Группа третьего вида

На рис. 6.3 представлена схема группы третьего вида.

Заданные параметры – передаточные функции внешних кинематических пар: , , , , , , , , , , , , а также постоянные величины h₁ и h₂, определяющие положение осей КП А и В относительно оси внутренней поступательной пары.

Следует определить ПФ оси кулисы: , , .

Рисунок 6.3 – Схема группы третьего вида

Рассмотрим графическую интерпретацию определения угловой ПФ0 звеньев, то есть углового положения кулисы.

С этой целью на рис. 6.4 изображены две окружности с центрами в точках А и В и радиусами h₁ и h₂.

Рисунок 6 . 4 – Схемы возможных положений оси кулисы

Положение оси направляющей на рис. 6.3 соответствует положению общей касательной к этим окружностям. Из рис. 6.4 видно, что можно провести четыре такие касательные, то есть задача имеет четыре решения, соответствующие четырём различным комбинациям знаков h₁ и h₂.

Угол оси направляющей можно определить в такой последовательности (см. рис. 6.3):

; (6.20)

;

; (6.21)

, если X_А>X_В;

, если X_А<X_В;

, если X_А=X_В и Y_А>Y_В; (6.22)

, если X_А=X_В и Y_А<Y_В;

. (6.23)

Для определения угловой ПФ1 оси направляющей дифференцируем выражения (6.20-6.23):

; (6.24)

; (6.25)

; (6.26)

. (6.27)

После повторного дифференцирования полученных выражений находим угловые ПФ2:

,(6.28)

, (6.29)

, (6.30)

. (6.31)

Группа четвертого вида

На рис.6.5 представлена схема группы четвертого вида.

Рисунок 6.5 – Схема группы четвертого вида

Заданными параметрами являются передаточные функции элементов направляющих n и m, по которым перемещаются ползуны: , , , , , , , , , , , , , , , , , , а также расстояния от оси внутренней КП до этих направляющих h_n и h_m.

Следует определить ПФ точки K. Из рис. 6.5 видно, что точка K лежит на пересечении прямых, одна из которых параллельна направляющей n и отстоит от неё на расстоянии h_n, а вторая параллельна направляющей m и отстоит от неё на расстоянии h_m. В этом случае также возможны четыре решения, соответствующие различным сочетаниям знаков h_n и h_m.

Аналитически координаты точки K можно определить следующим образом.

Уравнения осей направляющих:

где , .

Тогда координаты точки K, отстоящей от направляющей на расстоянии h_n и h _m:

, (6.32)

Если и , то

X _K=X _N+h _n;

. (6.33)

Если и , то

;

. (6.34)

В результате двукратного дифференцирования выражения (6.32) получим значение ПФ1 и ПФ2 точки K:

(6.35)

(6.36)

где ,

, (6.37)

(6.38)

где ; ;

; .

Группа пятого вида

На рис. 6.6 представлена схема группы пятого вида.

Заданными параметрами являются: линейные ПФ точки A ползуна х_A, y_A, , , , , ПФ элементов направляющей n- n, по которой перемещается ползун х_N, y_N, , , , и , , , а также расстояние от оси шарнира A до внутренней направляющей h и угол a между направляющими двух ползунов.