Наибольшее и наименьшее значение функции.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Теорема Вейерштрасса . Если функция непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает на нем наибольшее и наименьшее значения. Эти значения находятся либо на концах промежутка, либо в экстремальных точках.

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значения функции

1. Найти первую производную и все критические точки , принадлежащие .

2. Вычислить значения .

3. Вычислить значения функции на концах промежутка.

4. Сравнить все полученные значения функции , , и выбрать среди них наибольшее и наименьшее.

Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Решение. Необходимое условие экстремума , поэтому , а корни уравнения являются критическими точками, но промежутку принадлежит только . Найдем теперь и на концах промежутка и . Среди них самое большое 23, самое меньшее 7.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Пусть кривая задана функцией .

Определение 1. Кривая называется выпуклой вверх (вниз) на отрезке , если все точки кривой находятся ниже (выше) любой касательной к графику функции.

Определение 2 . Точка , отделяющая вогнутую часть от выпуклой, называется точкой перегиба графика функции .

Теорема . Если функция дважды дифференцируема на некотором промежутке, причем для любого из этого промежутка, то на этом промежутке график функции выпуклый, если , то график вогнутый.

Из теоремы следует, что для нахождения промежутков (выпуклости) вогнутости надо найти вторую производную функции и определить промежутки, где она положительна (отрицательна). Необходимым условием существования точки перегиба является обращение в нуль второй производной или ее отсутствие в точке , то есть условие или .
В случае выполнения одного из этих условий точка называется критической точкой второго рода.

Достаточным условием того, что точка - точка перегиба является смена знака второй производной при переходе через критические точки второго рода.

Правило нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба функции.

1. Указать область определения функции.

2. Найти критические точки второго рода, принадлежащие области определения функции.

3. Определить знак второй производной в каждом интервале области определения между соседними критическими точками.

4. По знаку установить интервалы выпуклости, вогнутости и по смене знака второй производной в окрестности точки – наличие или отсутствие точки перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при или .

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

1. Вертикальные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой, если при хотя бы один из односторонних пределов в точке бесконечен, т.е. или т. е. в точке функция терпит разрыв второго рода.