Решение типовых задач (тема 8, 9)

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 23Следующая ⇒

Пример 1. Имеются следующие данные об успеваемости студентов факультета по статистике: 4, 2, 5, 5, 3, 4, 3, 2, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 3.

Для анализа распределения студентов по успеваемости: 1) постройте дискретный ряд распределения; 2) дайте графическое изображение ряда; 3) исчислите структурные средние ряда (двумя способами) и показатели формы распределения; 4) проверьте гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения.

Решение

1. Для построения дискретного вариационного ряда необходимо подсчитать количество появления каждой оценки, т.е. частоту появления признака. Дискретный ряд представлен в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Распределение студентов по успеваемости

Успеваемость (балл), х	Число сту- дентов, f	Накопленные частоты, S _нак	x f	x² f
1	3	3	3	3	88,875
2	5	8	10	20	15,787
3	7	15	21	63	0,086
4	9	24	36	144	1,8136
5	6	30	30	150	46,3333
Итого	30	-	100	380	152,8949

2. Графически дискретный вариационный ряд может быть представлен в виде полигона (рис.5.1), кумуляты (рис.5.2) распределения. Полигон строится в прямоугольной системе координат.

полигон распределения теоретическая кривая нормального распределения Рис. 5.1. Распределение студентов по успеваемости.

По оси абсцисс откладываются значения дискретного признака, а по оси ординат – частоты распределения. Полигон часто замыкается, - для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе (в данном примере х = 0 и х = 6).

Кумулята – это линейный график накопленных частот. Для построения кумуляты дополнительно рассчитываются накопленные частоты (S _НАК), - они представлены в таблице 5.1, и в прямоугольной системе координат строится их график (рис.5.2).

Рис. 5.2. Кумулята распределения студентов по успеваемости

3. Cтруктурными средними выступают мода и медиана.

Модальное значение признака, т.е. М_о = 4 (балла). Графически – это вершина полигона распределения (рис.5.1).

Медиана равна 3 балла, так как S_НАК = =15 для признака, равному 3. Графически медиана определяется с помощью кумуляты распределения. Для ее определения сумму ординат (сумму частот) делят пополам, т.е. . Через полученную точку проводится прямая параллельно оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной распределения (рис. 5.2).

Пример 2. Известно распределение коммерческих банков области по размеру прибыли.

Размер прибыли, млн.грн	До 10,0	10,0 – 20,0	20,0 - 30,0	30,0 - 40,0	40,0 - 50,0	Свыше 50,0	Ито- го
Количество банков	20	40	25	45	50	20	200

Оцените уровень вариации банков по размеру прибыли, рассчитав абсолютные и относительные показатели вариации. Сделайте выводы.

Решение

1. Для определения абсолютных показателей вариации необходимо закрыть открытые интервалы и перейти от интервального ряда к дискретному (табл.5.3. гр. 3)

Таблица 5.3

Вспомогательные расчеты для определения показателей вариации

Размер прибыли,млн.грн	Количество банков, f	Середина интервала,х	xf			x ²	x ² f
1	2	3	4	5	6	7	8
до 10,0	20	5	100	52,5	1378,125	25	500
10,0-20,0	40	15	600	650	10562,5	225	9000
20,0-30,0	25	25	625	156,25	976,5625	625	15625
30,0-40,0	45	35	1575	168,75	632,8125	1225	55125
40,0-50,0	50	45	2250	687,5	9453,125	2025	101250
Свыше50,0	20	55	1100	475,0	11281,25	3025	60500
Итого	200,0		6250	2190	46687,5		242000

Рассчитываем следующие абсолютные показатели вариации: размах вариации (R); среднее линейное отклонение ( ), дисперсию ( ) и среднее квадратическое отклонение( ). 60 – 0= = 60 (млн. грн.) Размер отклонений величины максимальной прибыли от минимальной по всей совокупности банков составляет 60 млн.грн.

Для расчета и определим средний размер прибыли по всей совокупности банков.

млн.грн; млн.грн.

Индивидуальные размеры прибыли в среднем по всей совокупности банков отклонялись в ту и другую сторону от своего среднего значения на 10,95 млн. грн.

Дисперсию определим двумя способами:

- по формуле среднего квадрата отклонений = = 233,44

- по формуле “разности средних”:

- (31,25) ²= 1210 – 976,56 = 233,44.

Среднее квадратическое отклонение: млн.грн.

Размеры прибыли каждого из 200 банков отклонялись в ту и другую сторону от среднего значения на 15,28 млн. грн.

Определим теперь относительные показатели вариации:

- коэффициент осцилляции: ;

- относительное линейное отклонение: %;

- коэффициент вариации:

Анализируемый вариационный ряд распределения банков по размеру прибыли является статистически неоднородным, так как коэффициент вариации больше 33%. Об этом свидетельствует другие показатели вариации, например, коэффициент осциляции показывает, что разность между крайними значениями признака почти в 2 раза больше ( или 192 %) их среднего значения.

Среднее значение показателя прибыли по данной совокупности банков ( тыс.грн) не является надежной или типической ее характеристикой.

Пример 3. Распределение семей по среднедушевым доходам следующее (таблица 5.4). Определите средние и структурные характеристики распределения семей по размеру среднедушевого дохода.

Решение

1а. Определяем структурные характеристики ряда распределе-ния, т.е. моду медиану, квартили, децили по рассмотренным выше формулам этих характеристик для интервальных вариационных рядов.

Для выбора соответствующего интервала предварительно опре-делим накопленные частоты , (табл. 5.4, гр. 4).

Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой , тогда грн.

Большинство семей имеют среднедушевые доходы в размере 196,67 грн. Медианным является интервал , т.к. для него первая накопленная частота больше половины объема совокупности, т.е. 120>100. Тогда медиана будет равна: грн.

Половина семей имеют среднедушевые доходы, не превышаю-щие доходы 202 грн., а у другой половины семей среднедушевые доходы, соответственно, выше 202 грн.

Интервал, в котором будет находиться первый квартиль( ) рас-пределения, , т.к. ему соответствует первая накопленная час-тота , большая ; а интервал, в котором находится третий квартиль( ), будет , т.к. ему соответствует > .

Тогда соответствующие квартили будут равны:

грн; грн.

Среднедушевые доходы, не превышающие 180 грн., получают не менее четверти (25%) из всей совокупности семей, а в размере, не превышающем 230грн., не менее 75% всех семей.

Более детальная характеристика распределения может быть получена на основе децилей распределения. Интервалы соответствующих децилей определяются аналогично по соответствующим накопленным частотам. Например, находим первую , - это будет ; тогда соответствующий ей интервал будет тем интервалом, в котором находится первый дециль (d ₁) – и т.д.

Рассчитаем соответствующие децили:

грн; грн;

грн. Первый дециль показывает, что у 10% семей с самым низким среднедушевым доходом самый высокий размер среднедушевого дохода составляет 160 грн., а девятый дециль, - что среди 10% семей с самым высоким уровнем дохода – нижняя его граница составляет 254 грн.

Пример 5. Налоговой инспекцией одного из районов города проверено 172 коммерческих киоска и в 146 из них выявлены финансовые нарушения. Определите среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение альтернативного признака, т.е. доли киосков, у которых выявлены финансовые нарушения.

Решение

Определяем долю коммерческих киосков, у которых выявлены финансовые нарушения: . Тогда доля киосков, у которых отсутствуют финансовые нарушения, будет: .

Среднее значение альтернативного признака: . Дисперсия альтернативного признака составит: = 0,85 · 0,15 = 0,128, а среднее квадратическое отклонение: .

Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 2942; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 14 15 16 17 181920 21 22 23 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!