Человеко-машинные процедуры принятия решений
В этих процедурах решение вырабатывается в результате неоднократного взаимодействия ЛПР и ЭВМ. Как правило, в этих задачах имеется частичная формализация проблемы, определены параметры модели и соотношение между ними. Качество процессов, протекающих в модели, оценивается по многим критериям. В то же время связь между критериями, степень компенсации изменения качества одного критерия изменением качества другого заранее неизвестны. Проблема состоит как раз в определении наилучшего для ЛПР соотношения между критериями, достигаемого при данной модели.
Чаще всего в этой группе проблем рассматривается проблема математического программирования при нескольких критериях качества, которая решается следующим образом: ЛПР определяет какие-то первоначальные требования к соотношениям критериев, вводит их в ЭВМ, получает решение и реальные значения оценок альтернатив по критериям, изменяет свои требования, снова вводит в ЭВМ и т.д. Процесс заканчивается, когда ЭВМ выдает приемлемое решение, либо когда ЛПР убедится в нецелесообразности дальнейших попыток получить разумный компромисс при данной модели.
Так как существенными элементами таких систем являются модель проблемы, заложенная в ЭВМ, и руководитель, определяющий некоторые параметры этой модели, то возникающую систему и называют человеко-машинной.
В большинстве работ рассматривается линейная модель задачи многокритериального математического программирования.
|
|
|
Найти вектор x = (x1,x2,..., xn), принадлежащий области допустимых решений D Ì Rn, определяемой линейной системой:
Ax < b, x = (x1,x2,...,xn), xi > 0, 1< i <n,
где A - постоянная (p x n) матрица, b - (p x 1) вектор, и оптимизирующий совокупность N целевых функций (критериев качества)
C1,C2,...,СN, где
, j = 1,2,...,N
Это требование означает: в множестве X эффективных (парето-оптимальных) решений следует отыскать решение x*, соответствующее экстремуму априорно неизвестной функции полезности ЛПР
x* = arg max V(z),
где z = (C1(x*),..., CN(x*))
В такой постановке человеко-машинная процедура состоит из чередующихся фаз анализа и оптимизации:
Фаза оптимизации:
ЭВМ: а)используя полученную от ЛПР на предыдущем шаге информацию I(i-1)ЛПР, формирует новую область допустимых значений D(i)
б)вычисляет соответствующее новым данным решение x(i) (вместе с характеризующим его вектором z(i))
в)вырабатывает вспомогательную информацию I(i)ЭВМ
Фаза анализа:
ЛПР: г)оценивает предъявленное решение (или несколько решений) и определяет, является ли оно приемлемым. Если да, то процедура окончена; в противном случае анализирует вспомогательную информацию I(i)ЭВМ
|
|
|
д)сообщает дополнительно информацию I(i)ЛПР, с помощью которой можно вычислить новое решение x(i+1)
Человеко-машинные процедуры, созданные для решения описанных выше задач, отличаются друг от друга содержанием и способом выполнения каждого из указанных шагов. Эффективность процедур зависит в наибольшей степени от характера взаимодействия ЛПР и ЭВМ, выражаемого в количестве и качестве информации IЛПР, IЭВМ. В этой связи можно выделить три группы человеко-машинных процедур:
Прямые ЧМ-процедуры.
Этот тип процедур характеризуется тем, что человек непосредственно ведет поиск предпочтительного значения, задавая на каждом следующем шагу новое решение x(i) или новые параметры, по которым оно может быть вычислено. Таким образом, в прямых процедурах отсутствует шаг а). В основе прямых процедур лежит предположение о том, что ЛПР без труда определяет необходимый компромисс между критериями; ему нужно лишь некоторое изучение области допустимых значений.
Процедуры оценки векторов.
В этих процедурах ЛПР непосредственно оценивает полезность альтернативных вариантов решений, предъявляемых ему в виде векторов в пространстве критериев.
Процедуры поиска удовлетворительных значений критериев.
|
|
|
К данной группе относятся ЧМ-процедуры, в которых ЛПР, накладывая и изменяя ограничения на значения критериев в точке решения, решает задачу поиска удовлетворительных значений l(i) критериев Ci(x).
Большинство процедур начинается с выхода на множество Парето в пространстве критериев, после чего на этом множестве осуществляется поиск компромисса. Для линейных и выпуклых областей допустимых решений доказано, что любое решение может быть представлено в виде взвешенной суммы оценок критериев.
Заметим, что в большинстве методов делаются слишком сильные предположения относительно характера и возможностей получения информации от ЛПР. Вместе с тем ЛПР должен работать в привычных для него терминах и в рамках привычной для него структуры деятельности по принятию решений.
Метод анализа иерархий
Основная идея метода иерархий аналогична идее метода программно-целевого планирования, предложенной акад. Поспеловым Г.С. и состоит в том, чтобы с одной стороны построить дерево целей по проблеме, подлежащей решению, а с другой стороны - последовательно связывать расчетные показатели полезности альтернатив и важностей критериев с использованием аппарата парных сравнений и матричного исчисления.
|
|
|
МАИ предполагает разбиение проблемы на подзадачи, или критерии оценки достижимости глобальной цели, которым в соответствие ставятся или задачи более низкого уровня иерархии или (при меньшем числе уровней иерархии) однородных альтернатив реализации глобальной цели. Если в методах многокритериального анализа выделяются критерии оценки альтернатив, генерируются альтернативы решения, выносятся оценки по принятым критериям каждой из альтернатив, а затем сворачиваются по некоторому правилу в глобальную оценку (глобальную функцию полезности) и на основании значений глобальных полезностей выбирается оптимальная альтернатива решения, то в методе анализа иерархий эта процедура увязана в целостный процесс, организованный на дереве целей.
Обычно рассматривается следующее представление глобальной цели:
уровень 1 - глобальная цель, уровень 2 - уровень критериев оценки, уровень 3 - уровень альтернатив решения. Например, пусть рассматривается проблема инвестиций в один из трех проектов реализации крекинга нефти: А, Б, В. Представим соответствующую схему:
--------------------------
Уровень 1 ¦ Цель: реализаци проекта ¦
L------------T-------------
¦
----------T--------------+----T---------T---------
----+--- ----+--- -------- ----+--- ----+--- ----+-
¦стоимо ¦ ¦экологи¦ ¦оборудо¦ ¦коммуни¦ ¦сырье ¦ ¦персо¦
Уровень 2 ¦ сть ¦ ¦ческая ¦ ¦вание ¦ ¦кации ¦ ¦ ¦ ¦нал ¦
¦ ¦ ¦безопа-¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
¦ ¦ ¦сность ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
L---T---- L---T---- L---T---- L---T---- L---T---- L--T---
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
L---------+---------+----T----+---------+---------
¦
-----------------+----------------
¦ ¦ ¦
------+----- ------+----- ------+-----
Уровень 3 ¦ проект А ¦ ¦ проект Б ¦ ¦ проект В ¦
L------------ L------------ L------------
Получили соответствующее дерево целей. Первый уровень - цель С, второй уровень - уровень критериев q1, q2, ..., qn, третий уровень - уровень альтернатив a1, a2, ..., am.
Для выявления важностей критериев применим метод парных сравнений, заполняя квадратную матрицу вида:
| q1 | q 2 | … | qn | |
| q1 | x11 | x12 | … | x1n |
| q 2 | x21 | x22 | … | x2n |
| … | ||||
| qn | xn1 | xn2 | xnn |
На пересечениях строк и столбцов матрицы стоят результаты попарных сравнений экспертом (лицом, принимающим решения) важностей критериев. Например значение xij - насколько qi важнее, чем qj. Для этого эксперт фиксирует некоторую строку (начиная с первой) и попарно сравнивает важность критерия, номер которого соответствует номеру строки, со всеми остальными. Например, в нашем случае критерий q2 - "экологическая безопасность". Чтобы сравнить важность этого критерия, фиксируем вторую строку таблицы и попарно сравниваем важность экологической безопасности проекта со
всеми пятью остальными критериями. В клетке х22 естественно ставим 1. В остальные же клетки заносим значения, определяемые из таблицы:
| Значение интенсивности важности (xij) | Качественная оценка | Объяснение |
| 1 | Одинаковая значимость | Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели |
| 3 | Слабо значимее | Легкое предпочтение одного действия над другим |
| 5 | Существенно значимее | Сильное предпочтение одного действия над другим |
| 7 | Очевидно значимее | Предпочтение одного действия над другим практически явно |
| 9 | Абсолютно значимее | Свидетельства о предпочтении одного действия над другим в высшей степени убедительны |
| 2,4,6,8 | Промежуточные оценки | Необходиь компромисс |
Предложенная Т.Саати шкала содержит 5 основных градаций качества и еще 4 промежуточных. Общее число градаций качества не превосходит числа Миллера V=7±2, определяющего объем кратковременной памяти человека. В этом разделе памяти человек оперирует одновременно сравниваемыми или оцениваемыми информационными единицами (ИЕ). Под ИЕ понимается блок информации, с которым возможно оперирование как с единым целым. Например, для изучающего алфавит в качестве ИЕ выступают отдельные буквы. Затем, по мере овладения навыками чтения, в качестве ИЕ выступают слоги, и уже за
тем - слова. Для профессионального чтеца уже целые предложения или сочетания слов выступают в качестве ИЕ. Ограниченный объем кратковременной памяти с одной стороны является ограничением при анализе информации человеком, а с другой стороны - мощным стимулом для создания обобщений при овладении знаниями. Например, наиболее сильным примером обобщений законов природы являются математические зависимости. Вначале человек изучает отдельные факты, классифицирует их - то есть разносит по типовым классам. Например, явления электромагнетизма. Затем специфицирует более тонко
факты внутри классов. Затем ищутся закономерности структурного типа, когда классы иерархируются по признаку "обобщение-специализация". Ищутся закономерности порождения более специальных классов обобщения. Например, понятие элементарных частиц обобщается в понятие атомов, и этим механизмом управляют законы квантовой механики. Понятие атома обобщается в понятие молекулы, и здесь также работают законы квантовой механики, поначалу эмпирически выведенные как законы валентности химических элементов в химических соединениях.
Чем профессиональнее человек в данной предметной области, тем более высок уровень обобщений, с которым он работает. Внешне это может проявляться в более быстрой ориентации в незнакомой обстановке, более быстром распознавании процессов или явлений по меньшему числу признаков. Дело в том, что для человека неискушенного работа начинается с распознавания более мелких, расчлененных отдельных признаков, работе по их обобщению и сведению в единую картину. Для профессионала работа начинается уже с более высоких уровней обобщения, а потому занимает меньшее время и является более эффективной.
Элементы матрицы парных сравнений обратно пропорциональны относительно элементов главной диагонали, то есть xij = 1/xji. На главной же диагонали стоят единицы. Таким образом, лицо, принимающее решения, заполняет только верхнюю часть матрицы над диагональю. После того, как заполнена матрица парных сравнений, вычисляются значения относительных важностей критериев по формуле:
Затем значения wi, i = 1,n нормируются на единицу:
После этого для каждого из критериев qi строятся матрицы парных сравнений для выявления относительной важности альтернатив по данному критерию. То есть последовательно рассматриваются критерии и по каждому из них строятся матрицы парных сравнений M(qi)
альтернатив решения. Эти матрицы имеют вид:
qi ¦ a1 ¦ a2 ¦ ... ¦ am
===+====¦====¦======¦=====
a1 ¦ y11¦ y12¦ ... ¦ y1m
--------+----+------+-----
a2 ¦ y21¦ y22¦ ... ¦ y2m
--------+----+------+-----
. ¦ ¦ ¦ ¦
. ¦ ¦ ¦ ¦
. ¦ ¦ ¦ ¦
--------+----+------+-----
am ¦ ym1¦ ym2¦ ... ¦ ymm
¦ ¦ ¦ ¦
Как и для матрицы парных сранений критериев, на диагонали мат-
рицы M(qi) стоят значения yjj = 1, а в клетках ykl стоят ре-
зультаты сравнения важности альтернатив по критерию qi, равные
величинам от 1 до 9 или обратным им - в соответствии с таблицей,
приведенной выше. Затем, как и ранее, находим значения важностей
альтернатив по критерию qi:
m -----------------
vk(qi) = yk1 yk2 ... ykm
и затем нормируем на единицу:
, vk(qi)
vk (qi) = ------------
m
----
> vk(qi)
----
k=1
После того, как получены все векторы оценок важностей альтер-
натив vk(qi), k = 1,m; i = 1,n ищутся веса, или точнее, значке-
ния функций полезности по альтернативе в целом, как:
n
---- , ,
Uk = > vk (qi) wi
----
i=1
И оптимальной считается альтернатива, для которой Uk имеет
наибольшее значение.
Рассмотрим элементы C1,...,Cn некоторого уровня иерархии.
Мы хотим определить веса w1,...,wn их влияния на некоторый
элемент следующего уровня. Для этого стороится соответствую-
щая матрица парных сравнений. Покажем, почему для представ-
ления приоритетов выбран собственный вектор, соответствую-
щий наибольшему собственному значению. Содержательно собственный
вектор соответсвует случаю, когда в матрице парных сравнений
стоят ТОЧНЫЕ значения относительных величин измеряемых признаков в
форме попарных отношений - признакi/признакj.
Обозначим через aij число, соответствующее значимости
элемента Ci по сравнению с Cj. Матрицу, состоящую из этих
чисел, обозначим через A:
A = ¦¦aij¦¦
Как отмечалось ранее, aij = 1/aji, т.е. матрица A - об-
ратносимметричная. Если наше суждение совершенно при всех
сравнениях, то aik = aij ajk для всех i,j, k и матрицу A на-
зываем согласованной.
Очевидным для согласованной матрицы является случай, ког-
да сравнения основаны на точных измерениях, то есть веса w1,
w1,...wn известны. Тогда
aij = wi/wj, i,j = 1,...,n (1)
и поэтому:
wi wj
aij ajk = ---- ---- = wi/wk = aik
wj wk
Также, конечно, верно
1
aji = wj/wi = ----- = 1/aij
wi/wj
Матричное уравнение
A . x = y
где x = (x1,...,xn) и y = (y1,...,yn) соответствует крат-
кой записи системы уравнений
n
----
> aij xi = yi, i = 1,...,n
----
j=1
Теперь из (1) получаем:
wj
aij --- = 1, i,j = 1,...,n
wi
и, следовательно,
n
---- 1
> aij wj --- = n, i = 1,...,n
---- wi
j=1
или
n
----
> aij wj = n wi, i = 1,...,n
----
j=1
что эквивалентно выражениею:
A w = n w (2)
В теории матриц эта формула отражает то, что w - соб-
ственныый вектор матрицы A с собственным значением n. То есть мы
и получили, что w - собственный вектор матрицы А - парных отноше-
ний. Уравнение (2), расписанное поэлементно, выглядит следующим
образом:
¦ A1 A2 ... An ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
A1 ¦ w1/w1 w1/w2 w1/wn ¦ ¦ w1 ¦ ¦ w1 ¦
A2 ¦ w2/w1 w2/w2 w2/wn ¦ ¦ w2 ¦ ¦ w2 ¦
. ¦ . . . ¦ ¦ . ¦ ¦ . ¦
A = . ¦ . . . ¦ ¦ . ¦ = n ¦ . ¦
. ¦ . . . ¦ ¦ . ¦ ¦ . ¦
An ¦ wn/w1 wn/w2 wn/wn ¦ ¦ wn ¦ ¦ wn ¦
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
Как правило, aij основаны не на точных измерениях, а на
субъективных суждениях (экспертов). В этом случае aij откло-
няются от "идеальных" отношений wi/wj, и в силу этого урав-
нение (2) более не будет иметь места.
Из теории матриц известно, что числа l1, l2,...,ln, удов-
летворяющие уравнению
A x = l x
являются собственными значениями матрицы A, и если aii = 1
для всех i, то
n
----
> li = n
----
i=1
Поэтому, если имеет место (2), то все собственные значе-
ния равны нулю за исключением одного, равного n. Ясно, что в
случае согласованности n есть наибольшее собственное значе-
ние A.
Известно также, что если элементы aij положительной об-
ратносимметричной матрицы A незначительно изменить, то соб-
ственные значения также изменятся незначительно.
В силу сказанного выше можно утверждать, что если на диа-
гонали матрицы A стоят единицы и она - согласованная матри-
цы, то при малых изменениях в aij наибольшее собственное
значение lmax остается близким к n, а остальные собствен-
ные значения - близкими к нулю.
Теперь можно сформулировать следующую задачу: если A -
матрица значений парных сравнений, то для нахождения векто-
ра приоритетов нужно найти вектор w, который удовлетворяет
A w = lmax w
Так как желательно иметь нормализованное решение, слегка
изменим w, полагая
n
----
r = > wi
----
i=1
и заменяя w на (1/r) w. Это обеспечивает единственность, а так-
же то, что
n
-----
> wi = 1
-----
i=1
Заметим, что так как малые изменения в aij вызывают ма-
лое изменение lmax, отклонение последнего от n является ме-
рой согласованности. Оно позволяет оценить близость получен-
ной шкалы к основной шкале отношений, которую мы хотим оце-
нить. Поэтому индекс согласованности
(lmax - n)/(n - 1)
рассматривается как показатель "близости к согласованности".
В общем случае, если это число < 0.1, то мы можем быть удов-
летворены суждениями.
Как следует из ограничений на объем кратковременной памяти,
адеватность оценок на каждом уровне иерархии достигается только,
если число анализируемых элементов не превышает семи. Если же
число элементов больше числа Миллера, то элементы на уровне раз-
биваются на КЛАСТЕРЫ. Элементы сравниваются внутри кластеров, а
затем кластеры сравниваются между собой. По сути мы вводим допол-
нительный промежуточный уровень иерархии.
Шкалы в МАИ
Теоретически измерение - это построение шкал посредством изо-
морфного отображения эмпирической системы с отношениями в числен-
ную систему с отношениями. Производное измерение выводит новую
шкалу из других известных шкал. Например, шкала плотности -
производная шкала из шкал измерения для массы и объема.
Шкалу наилучшим способом, как уже говорилось, можно описать в
терминах классов допустимых преобразований, т.е. преобразований
сохраняющих содержащуюся в ней информацитю.
Когда мы сравниваем признак Si и признак Sj, мы пишем Si R Sj
тем самым обозначая, что сравниваем их для выявления относи-
тельного превосходства одного над другим, например в форме отно-
сительного веса. Если относительные веса выражены численно, тем
самым мы совершаем перевод относительных весов в численную шкалу.
Затем из этих относительных весов составляем матрицу A и решаем
задачу нахождения собственного значения, чтобы определить точное
соответствие между объектами и действительными числами.
Покажем, что при использовании МАИ получается шкала отношений,
числовая шкала, характеризующаяся допустимым классом преобразова-
ний вида y=ax, a>0. Шкала отношений характеризуется произвольной
точкой начала отсчета. Для доказательства искомого нужно пока-
зать, что парные сравнения, определенные посредством бинарной
операции, отображаются в шкалу отношений действительных чисел,
соответсвующих сравниваемым элементам:
F F F
если S1 ----> w1, S2 ----> w2, то S1 R S2 -----> w1/w2
В общем случае бывает трудно показать, какой вид шкалы ис-
пользуется, особенно когда преобразование сложное и включает фи-
зические операции: для задачи, связанной с физической системой,
вид шкалы устанавливается эмпирически.
Известно, что решение задачи нахождения главного собственного
значения для положительных матриц единственно с точностью до по-
ложительного постоянного множителя. Поэтому преобразование дает
множество действительных чисел aw1, aw2,..., awn по одному для
каждого параметра S1,S2,..., Sn, где a - произвольное положи-
тельное число. Это точно соответсвует определению шкалы отноше-
ний через класс допустимых преобразований. При этом полученная из
матрицы суждений шкала отношений является только нашей (экспер-
тной) оценкой принятой основной шкалы отношений, которая получи-
лась бы, если матрица суждений была бы согласованной.
Отметим, что для одной и той же шкалы отношений можно сложить
пару элементов и получить третий, принадлежащий той же шкале:
если y1=ax1 и y2=ax2, то y1+y2=a(x1+x2) и множитель по-прежне-
му остается равным a. Однако y1y2=a**2x1x2 и y1/y2=x1/x2 и опера-
ции умножения и деления выводят за пределы шкалы отношений, так
как не соответсвуют преобразованию y=ax.
Сумма двух элементов из двух разных шкал отношений не принад-
лежит шкале отношений. Однако, если коэффициенты линейных преоб-
разований двух различных шкал не равны 1, то произведение и час-
тное от деления принадлежат некоторой шкале отношений:
если y1=ax1 y2=bx2, то y1+y2=ax1+bx2 и найти соотвествующую шка-
лу отношений невозможно; но для y1y2=(ab)x1x2 и y1/y2=(a/b)x1/x2
допустимыми классами преобразований будут классы с линейной фун-
кцией, имеющей коэффициенты ab и a/b соответсвенно. Вот почему
бессмысленно складывать такие величины, как время и расстояние,
но поделив длину (вернее, расстояние) на время, получим скорость.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 905; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!