Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности. Погрешности среднего арифметического.
Повторив несколько наблюдений, получим ряд числовых значений измеряемой величины (Х1, Х2, ..., Хn). Эти значения отличаются одно от другого, но если измерения проводились в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью, заслуживают одинакового доверия. Стремясь приблизиться к истинному значению измеряемой величины, вычисляют среднее арифметическое значение (или просто среднее) результатов ряда наблюдений по следующей формуле χ = (Х1 + Х2 + ... + Хn)/n . (6.2) Здесь χ - среднее значение; Хi - результат i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., n); n - число наблюдений. При этом предполагается, что результаты наблюдений свободны от систематических погрешностей. Отклонение от среднего Vi определяют по формуле Vi = Xi - χ . (6.3) Отклонения от среднего имеют два очень важных свойства, которые используются для контроля правильности вычислений: 1). Алгебраическая сумма отклонений от среднего равна нулю Σ Vi = 0. (6.4) Это равенство справедливо всегда, если при вычислении среднего арифметического не производилось округление. Если же округление сделано, то всегда можно оценить, в какой степени отклонение от нуля соответствует этому округлению. 2). Сумма квадратов Vi имеет минимальное значение Σ Vi 2 = min. (6.5) 44 Если вместо среднего арифметического возьмем какое-либо другое значение и определим отклонение от него результатов отдельных наблюдений, то сумма квадратов этих отклонений всегда будет больше, чем сумма квадратов отклонений от среднего.
|
|
|
Погрешности среднего арифметическогоЕсли случайные погрешности результатов отдельных наблюдений подчиняются нормальному распределению, то и погрешности средних значений их повторных рядов подчиняются этому же закону, но с другим рассеянием. Рассеяние средних значений меньше, чем рассеяние результатов отдельных наблюдений. 46 Оценка βo среднего квадратического отклонения результата измерения (среднего χ) вычисляется по следующей формуле
Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности. Доверительные интервалы и вероятности для среднего значения.
Повторив несколько наблюдений, получим ряд числовых значений измеряемой величины (Х1, Х2, ..., Хn). Эти значения отличаются одно от другого, но если измерения проводились в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью, заслуживают одинакового доверия. Стремясь приблизиться к истинному значению измеряемой величины, вычисляют среднее арифметическое значение (или просто среднее) результатов ряда наблюдений по следующей формуле χ = (Х1 + Х2 + ... + Хn)/n . (6.2) Здесь χ - среднее значение; Хi - результат i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., n); n - число наблюдений. При этом предполагается, что результаты наблюдений свободны от систематических погрешностей. Отклонение от среднего Vi определяют по формуле Vi = Xi - χ . (6.3) Отклонения от среднего имеют два очень важных свойства, которые используются для контроля правильности вычислений: 1). Алгебраическая сумма отклонений от среднего равна нулю Σ Vi = 0. (6.4) Это равенство справедливо всегда, если при вычислении среднего арифметического не производилось округление. Если же округление сделано, то всегда можно оценить, в какой степени отклонение от нуля соответствует этому округлению. 2). Сумма квадратов Vi имеет минимальное значение Σ Vi 2 = min. (6.5) 44 Если вместо среднего арифметического возьмем какое-либо другое значение и определим отклонение от него результатов отдельных наблюдений, то сумма квадратов этих отклонений всегда будет больше, чем сумма квадратов отклонений от среднего.
|
|
|
Доверительные интервалы и вероятности для среднего значения. То обстоятельство, что случайные погрешности среднего значения χ также распределяются по нормальному закону, дает право определять для них доверительный интервал (±Е) по формуле
и пользоваться таблицами 6.1-6.2. Пример 2. Определить доверительный интервал для среднего значения из 64 наблюдений при β=0.04 и заданной доверительной вероятности 0.9. Найдем среднее квадратическое отклонение среднего
Для Ф(t) = 0.9 по таблице 6.1 находим t = 1.645. Границы доверительного интервала: ±Е = ± t·β0 = ±1.645 · 0.005 ≈ ± 0.008.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 420; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!