ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. ДЛИНА ВЕКТОРА. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 9Следующая ⇒

Если матрица состоит только из одного столбца (j = 1), то такой объект называется вектором-столбцом. Если матрица состоит только из одной строки (i = 1), то такой объект называется вектором-строкой. Примеры смотри в вопросе 3.

При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело – со столбцами или строками. Так, например, значения напряжения снятые в одном узле электрической сети можно рассматривать как вектор-строку. Тогда как показания приборов во всех узлах сети в определенный момент времени будут рассматриваться как вектор-столбец.

Всякий вектор-столбец транспонированием превращается в вектор-строку.

В тех случаях, когда форма вектора не оговаривается специально, а просто говорится вектор, имеется в виду вектор-столбец.

Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого равны нулю.

Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как это делается с матрицами.

Два вектора x и у называются коллинеарными, если существует такое число а, что ах = у.

Два вектора одинаковой размерности можно перемножать. Пусть имеется два вектора х = (х₁, х₂, ..., х_n)^t иу = (у₁, у₂, ..., у_n)^t. Руководствуясь правилом перемножения «строка на столбец», мы можем составить из них два произведения: х^tу и ху^t.

Первое произведение называется скалярным или внутренним. Его результат – это число. Для него также используется обозначение (х,у).

Второе произведение называется внешним. Его результат – это квадратная матрица размерности n.

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом. Эта величина определяет квадрат длины вектора х.

Для обозначения длины вектора (нормы вектора) используется обозначение

Вектор единичной длины называется нормированным. Ненулевой вектор можно нормировать, разделив его на длину.

Векторы называются ортонормированными, если все они нормированы и попарно ортогональны.

ФАКТОРИЗАЦИЯ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

В математике факторизация – это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов или факторов, которые будучи перемноженными, дают исходный объект.

Матрица может быть факторизована на произведение матриц специального вида. Одним из основных примеров этого является использование ортогональных, унитарных и треугольных матриц. Существуют различные способы факторизации: LU-разложение, LH, QR и т.д.

Использование метода LU-разложения для решения систем линейных алгебраических уравнений рассмотрено в вопросе 7.

Двойная факторизация – представление обратной матрицы в виде произведения элементарных верхних и нижних треугольных матриц, в которых не равны нулю все элементы только одной строки или одного столбца. Такие матрицы называются факторными.

Произведение факторных матриц дает обратную матрицу.

Рассмотрим структуру факторных матриц:

1) Левая факторная матрица на к-м шаге факторизации L_k.

Элементарная нижняя треугольная матрица, в которой диагональные элементы равны 1, в к-ом столбце диагональные и все поддиагональные элементы не равны нулю. Все остальные элементы матрицы равны нулю. Таких матриц может быть n.

Элементы этой матрицы определяются по формулам:

(1)

(2)

2) Правая факторная матрица R_к.

Это элементарная верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

В к-ой строке элементы, лежащие правее диагонали, не равны нулю. Все остальные элементы матрицы равны нулю.

Таких матриц может быть n-1. Элементы матрицы R вычисляются по формуле:

(3)

k=1…n, j=k+1…n, i=k+1…n.

Для квадратной матрицы А размерностью (n x n) существует n левых и (n-1) правых факторных матриц, таких, что их произведение дает обратную матрицу:

A^-1= R₁∙ R₂∙ …∙ R_n_-1∙ L_n∙ L_n_-1∙ …∙ L₁. (4)

Здесь: А – исходная матрица; L – левые факторные матрицы, полученные на 1, 2, …, n шагах факторизации; R – правые факторные матрицы.

Существует эффективные алгоритмы перемножения факторных матриц, в которых нулевые элементы и единицы на диагонали не хранятся, а подразумеваются в ходе вычислений. В памяти хранятся и участвуют в вычислениях только значащие элементы матриц.

Решение ищем в виде:

АХ = В;

Х = А^-1∙В.

Алгоритм факторизации:

1) Выбор очередного ведущего элемента а_кк, определяющего опорную строку и опорный столбец;

2) На основе элементов опорной строки и опорного столбца пересчитываются все остальные элементы матрицы по формуле:

(5)

3) Пересчитываем элементы опорного столбца по формуле (1);

4) Пересчитываем элементы опорной строки по формуле (3);

5) Пересчитываем ведущий элемент по формуле (2) L₁… L_к … L_n

6) Если таким образом получены n левых и (n-1) правая факторная матрица, то переходим к пункту 7, иначе – возврат к пункту 1;

В результате все поле матрицы будет заполнено элементами факторных матриц L и R. Полученная матрица называется факторизованной;

7) Расчет обратной матрицы А^-1 перемножением факторных матриц по формуле (4);

8) Решение системы уравнений по формуле: Х = А^-1∙В.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 227; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!