ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА LU-РАЗЛОЖЕНИЯ В РЕШЕНИИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Определение.Допустим, что матрица A представляется в виде произведения двух матриц:

А = LU. (1.1)

Представление (1.1) матрицы A называется LU-разложением матрицы А, если U – верхняя треугольная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, а L – нижняя треугольная матрица, все диагональные элементы которой не равны нулю.

Обозначения матриц L и U соответствуют английским словам: lower – нижний, upper – верхний.

Для решения системы уравнений АХ=В необходимо:

а) матрицу A представить в виде произведения нижней треугольной L и верхней треугольной U матриц (триангулировать A=LU), записав уравнение LUX=B;

б) решение системы уравнений сводится к двухфазовой операции с треугольными матрицами:

- решению LY=B относительно Y;

- решению UX=Y относительно X.

Для LU-разложения исходной матрицы используется множество алгоритмов. В данной лабораторной работе применяется достаточно простой алгоритм последовательного определения элементов матриц L и U:

Пусть матрица A имеет размерность n × n.

1 шаг. Определение первого столбца матрицы L и первой строки матрицы U.

Принимается значение k = 1, тогда искомые элементы матриц L и U определяются по выражениям:

L_i,k = A_i,k, где i = n..1;

где i = 1, j = n..1.

Далее необходимо пересчитать элементы исходной матрицы A при i = n..2, j = n..2 по выражению

(1.2)

2 шаг.Определение второго столбца матрицы L и второй строки матрицы U.

Принимается значение k = 2, тогда искомые элементы матриц L и U определяются по выражениям:

L_i,k = A_i,k при i ≥ k и L_i,k = 0 при i < k, где i = n..1;

при j ≥ k и U_i_,_j = 0 при i < k, где i = 2, j = n..1.

Далее необходимо пересчитать элементы исходной матрицы A при i = n..3, j = n..3 по выражению (1.2).

s шаг.Определение s-ого столбца матрицы L и s-ой строки матрицы U.

Принимается значение k = s, тогда искомые элементы матриц L и U определяются по выражениям:

L_i,k = A_i,k при i ≥ k и L_i,k = 0 при i < k, где i = n..1;

при j ≥ k и U_i_,_j = 0 при i < k, где i = s, j = n..1.

Далее необходимо пересчитать элементы исходной матрицы A при i = n..s+1, j = n.. s+1 по выражению (1.2).

Количество шагов равно размерности исходной матрицы.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Исходная система линейных алгебраических уравнений

a₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а₁_nx_n = b₁

a₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а₂_nx_n = b₂

……………………………..

a_n₁х₁ + а_n₂х₂ + … + а_nnx_n = b_n

преобразуется к виду

х₁ = (1/a₁₁)(b₁ – а₁₂х₂ – … – а₁_nx_n)

х₂ = (1/a₂₂)(b₂ – а₂₁х₁ – … – а₂_nx_n) …............ (1)

x_n = (1/a_nn)(b_n – а_n₁х₁ – … – а_n₍_n_-1)x_n_-1)

при обязательном условии a_ii ¹ 0, i = 1, …, n.

Преобразованная система решается поэтапно:

1) задаются начальные (нулевые) значения неизвестных x_i⁽⁰⁾, i = 1,…,n;

2) значения х_i⁽⁰⁾ подставляются в правые части уравнений и тем самым определяются следующие приближения неизвестных x_i⁽¹⁾, i = 1, … n;

3) подстановкой полученных значений x_i⁽¹⁾ находится следующее приближение и т. д.

Таким образом, на k-м шаге итерационного процесса система примет вид:

х₁⁽^k⁾ = (1/a₁₁)(b₁ – а₁₂х₂⁽^k^-1) – … – а₁_nx_n⁽^k^-1))

х₂⁽^k⁾ = (1/a₂₂)(b₂ – а₂₁х₁⁽^k^-1) – … – а₂_nx_n⁽^k^-1))

……………………………..

x_n⁽^k⁾ = (1/a_nn)(b_n – а_n₁х₁⁽^k^-1) – … – а_n₍_n_-1)x_n_-1⁽^k^-1))

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения x_i, полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения e, т. е. до выполнения условия

|x_i⁽^k⁺¹⁾ – x_i⁽^k⁾| < e, i = 1, … n. (2)

Для выполнения условия (2) при любой заданной точности решения, т.е. при любом сколь угодно малом значении e, необходимо, чтобы

(3)

где x_i^* —точные решения исходной системы уравнений.

При выполнении (3) для произвольного начального приближения x_i⁽⁰⁾, i = 1, ..., n итерационный процесс называется сходящимся, в противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.

Для сходимости итерационного процесса, условием которого служит матричное соотношение , при любом столбце начальных приближений х⁽⁰⁾, необходимо выполнение достаточного условия сходимости:

(4)

или в общем случае

(5)

где p_i, p_j – положительные вещественные числа.

В частном случае, при p_j = l, j = 1, ..., n, условие (5) переходит в (4). Однако если достаточное условие сходимости (4) не выполняется, то в некоторых случаях можно найти такие p_j, при которых выполняется условие (5).

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 211; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!