Решение текстовых задач с параметром методом областей
Метод областей применим чаще всего, когда неравенство от xи параметра αможно записать в виде произведениясомножителей. Каждую скобку приравнивают к нулю, как при решении неравенства методом интервалов. Полученные уравнениявидаF(x,α) будут граничными линиями, разбивающими плоскость на полуплоскости.Для записи ответа берут те полуплоскости, знак которых совпадает со знаком неравенства.
Задача 1:
Заказ на три партии деталей первый мастер выполняет со скоростью 2v деталей в час. Спустя более двух часов, работу по изготовлению одной партии деталей и ещё 5 деталей начал второй мастер, его скорость равна vдеталей в час. Работу оба мастера закончили одновременно. Сколько деталей в одной партии, если производительность второго меньше 8 деталей в час и в партии целое число деталей?
Решение:
Моделью данной ситуации является неравенство, параметром является производительность v.
Примем за х число деталей в одной партии, тогда время работы первого мастера и второго можно найти, подставив данные в формулу 
: 
и 
соответственно. Так как второй рабочий начал работу больше, чем на 2 ч позже, то 
. Преобразовывая данное неравенство, получим: 
, 
.
Запишем соответствующее неравенству уравнение: 
, откуда 
. Построим графики этих двух уравнений в системе координат Oxv[рис.37].
Графиком функции 
является прямая, найдём координаты двух её точек. Пусть 
.
|
|
|
Рисунок 37. Построение графика неравенства 
Теперь возьмём точки из каждой полуплоскости и подставим их координаты в неравенство. Если неравенство окажется верным, то взятая точка лежит в положительной области, где нет – в отрицательной.Заметим, что неравенству удовлетворяют точки A (20;2) и C (2;2). Но так как в области точки Cv<0, а производительность является величиной положительной, то условиям удовлетворяет только область с точкой А.
Из условия ясно, что 0<v<8, на рисунке 36 данная область выделена оранжевой линией. Получается, что для 0<v<8 
. С учётом, что в партии целое число деталей, то 
.
Ответ: при 
.
Задача 2:
Расстояние между пристанями А и В равно 20 км. С пристани А до В отплыл катер, двигаясь по течению с собственной скоростью vкм/ч. Доплыв до В он развернулся и вернулся обратно с той же собственной скоростью. Путь обратно длился дольше по времени более, чем на 1 час. Какова скорость течения реки, если собственная скорость катера не превышает 20 км/ч?
Решение:
Математической моделью данной ситуации является неравенство, в роли параметра выступает собственная скорость катера v.
Примем за х км/ч скорость течения реки, тогда скорость катера по течению равна (v+x) км/ч, а против течения – (v-x) км/ч. Время затраченное на путь от А до В и от В до А равно соответственно 
и 
. Для них выполняется неравенство 
. Преобразуем его: 
.
|
|
|
Соответствующее ему уравнение: 
. То есть 
.
Рассмотрим уравнение 
. Преобразуем: 
, заметим, что левая часть не должна быть отрицательной, то есть 
. Нанесём корни этого неравенства x=0 и x=−40 на координатную прямую [рис.38].
Рисунок 38. Решение неравенства x(x+40)≥0
Решением неравенства являются промежутки 
. Так как скорость течения является величиной положительной, мы можем рассматривать только промежуток x>0.
| x | 0 | 4 | 12 |
| v | 0 | 
| 
|
Построим графики в системе координат Оxv[рис.39].Так как 
и x>0 мы можем рассматривать только области, лежащие в первой четверти. В каждой области, на которые разбили плоскость графики возьмём точку и подставим её координаты в неравенство 
. Неравенство верно только при подстановке координат точки В (6;8). Следовательно, решения неравенства лежат в этой области.
Рисунок 39. Построение графика 
Учитывая, что 0<v<20, получаем, что 
. Так как лодка смогла проплыть против течения обратно, то скорость течения меньше собственной скорости лодки, то есть 
Заметим, что при x=vкатер бы стоял на месте, поэтому дополнительным условием является x<v.
|
|
|
В данной задаче сложно записать точный ответ, так как должно выполняться условие 
, которое мы получаем, подставив в уравнение координаты точки В (6;8). Получается, что 
.
Ответ: 
.
Замечание:очевидно, что данный метод также не совсем подходит для решения текстовых параметрических задач, как и графический, но его достоинство заключается в том, что при помощи построенных областей можно определить диапазон решенийили найти пары «переменная-параметр», при которых задача имеет решение.
Заключение
Подводя итог исследования «Методы и способы решения текстовых задач, содержащих параметр», можно сделать несколько выводов.
Стоит сказать, что задачи с параметрами – не только текстовые–являются задачами повышенной сложности. Их решение требует не только наличия определённых знаний, но и умения мыслить логически и анализировать, умения видеть в условии задачи подсказки для решения. Решение параметрических задач требует высокого уровня знаний и развития математической культуры.
Исследовав методы решения простых текстовых задач, был сделан вывод, что параметрических текстовые задачи в своём большинстве решаются алгебраическим методом, то есть посредством решения уравнений, неравенств и их систем. Аналитический метод решения же параметрических задач представляет собой прямое решение, повторяющее стандартные процедуры решения текстовых задач без параметра, предполагающее после выполнения вычислений осуществить проверку всех значений и переменной, и параметра [13]. То есть аналитический метод в данном случае является расширением для алгебраического метода в текстовых задачах, который применим для параметра. Данное предположение было подтверждено рассмотренными примерами решения задач с параметром. Весь алгоритм решения и выполняемые действия повторяет решение простой текстовой задачи.
|
|
|
Исследовав формулировку задач с параметром, можно сделать вывод, что глобально они делятся на задачи, решаемые посредством составления уравнения, и задачи, решаемые посредством составления неравенства. Данное обстоятельство нужно учитывать при чтении задачи, чтобы грамотно составить математическую модель ситуации и применять уместные способы при решении (например, свойство пропорции для решения уравнений). В примерах были рассмотрены обе группы задач.
На основе решенных задач можно сделать вывод, что аналитический метод решения достаточно сложен и объёмен с точки зрения вычислений, однако применим всегда. А также он более точен, чем графический. Последний же метод применим больше для решения задач с параметром, где требуется найти количество решений уравнения или неравенства, диапазон значений переменной или параметра, где не нужны точные цифры.
Суть текстовых задач заключается в том, что они описывают какое-то явление или ситуацию, которая может происходить в реальной жизни. И изучая формулировки условий задач, можно убедиться в практической важности текстовых задач с параметром. В рассмотренных задачах речь шла о растворах, о нахождении объёма и концентрации. Необходимость решить подобную задачу может возникнуть во время проведения химического эксперимента, проведения исследования по химии или физике. Задачи о работе и производительности могут возникнуть при составлении графика работ или при организации работы, которую нужно выполнить в определённый срок. Решение задач с параметром может быть использовано в производстве (задачи на концентрацию раствора или сплава, экономические задачи о закупке материалов), в логистике (задачи о работе и производительности бригад, экономические задачи), в различных исследованиях (задачи на движение в воде и на суше, задачи на растворы и сплавы). Область применения текстовых задач с параметром достаточно широкая.
Литература
1) Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами [Текст]: Справочное пособие / В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич. – Мн: «Асар», 1996. – 464 с.: ил.
2) Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике [Текст] / В.И. Голубев. – М.: Илекса, 2007. – 252 с.
3) Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – К.: РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. – 290 с.
4) Дорофеев Г.В. Квадратный трёхчлен в задачах[Текст] / Г.В. Дорофеев. – Львов: журнал «Квантор»,1991 г.
5) Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения [Текст] / В. С. Крамор. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 416 с.: ил. — (Школьный курс математики).
6) Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств [Текст] / В.В. Локоть, ред. С.В.Зотиков. – М: АРКТИ, 2010. – 64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).
7) Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Федин Н.Г. Толковый словарь математических терминов [Текст] /О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Сорокин, Н.Г. Федин. – М.: Просвещение, 1965 г. – 542 с.
8) Мирошинн В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика [Текст] / В.В. Мирошин. – М.: издательство «Экзамен», 2009. – 286 [2]с.
9) Ткачук В.В. Математика – абитуриенту [Текст] / В.В. Ткачук. – М.: МЦНМО, 2007. – изд.14, 976с.
10) Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметр [Текст]: пособие для учителя/ Г.А. Ястребинецкий. – М.:»Просвещение», 1972. – 128 с.
11) Виды и методы решения текстовых задач [Электронный ресурс] // Studfiles.net. Файловый архив студентов. – Режим доступа: https://studfiles.net/preview/5430440/page:16/ (25.03.2018)
12) Методы решения задач [Электронный ресурс] // Студенческая библиотека онлайн. – Режим доступа: http://studbooks.net/1751762/pedagogika/metody_resheniya_zadach (25.03.2018)
13) Основные способы решения задач с параметром[Электронный ресурс] // Vuzlit.ru. – Режим доступа: https://vuzlit.ru/915049/osnovnye_sposoby_resheniya_zadach_parametrom(29.03.2018).
14) Параметр [Электронный ресурс]: словарь / под ред. Д.И.Ушакова.// Толковый словарь русского языка. – Режим доступа: http://ushakovdictionary.ru/word.php?wordid=44583 (25.03.2018)
15) Программа факультативного курса по математике «Текстовые задачи с параметрами» [Электронный ресурс] / Педагогическое сообщество Урок.РФ. – Режим доступа: https://урок.рф/library/programma__fakultativnogo_kursa_po_matematike__«t_142856.html (25.03.2018)
16) Текстовые задачи с параметрами как класс задач повышенной трудности в школьном курсе элементарной математики[Электронный ресурс] / Д.В. Жарков, Т.И. Кузнецова, ред. Е.И. Санина // Интеграционные процессы в естественнонаучном и математическом образовании: Сборник научных трудов участников международной конференции. Москва, РУДН, 4–6 февраля 2013 г. / Под общей ред. Е.И. Саниной. – Режим доступа: https://istina.msu.ru/publications/article/5350426/ (28.03.2018)
17) Урок на тему «Метод областей» [Электронный ресурс] // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/664756/ (10.04.2018)
18) Элективный курс «Параметр и его значимость» [Электронный ресурс] // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».– Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/500354/ (27.03.2018)
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 1041; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!