Решение текстовых задач с параметром графическим методом

Во всех рассмотренных в предыдущем разделе примерах при решении использовался аналитический метод. Однако некоторые задачи можно решить и графическим методом. Прежде всего это задачи, где требуется найти не конкретные числа, а скорее диапазон значений, ведь графический способ решения не предполагает точности.

Рассмотрим задачу, решённую ранее аналитическим методом.

Задача 1:

В один из сосудов ёмкостью по 8 л налито 5 л 60% раствора щёлочи, а во второй – 4 л 80% раствора щёлочи. Сколько раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нём получился раствор с концентрацией щёлочи α?

Решение:

Воспользуемся составленным ранее уравнением: , . Построим график функции от α; это линейная функция, следовательно, её графиком является прямая линия, которую можно построить по двум точкам.

Пусть , тогда .

Пусть , тогда .

α	50	70
x		5

Теперь построим график по найденным точкам в координатной плоскости Оαx. Он изображён на рисунке 30красной линией.

Так как из условия задачи видно, что перелитый объём удовлетворяет неравенству , отметим данный отрезок оранжевым цветом [рис.31]. По графику видно, что для  параметр α находится в интервале приблизительно от 55% до 65%.

 

 

Рисунок 31. График функции x=(5α-300)/(80-α)

Ответ:  при .

Замечание:ответ при решении данной задачи аналитическим методом был  при . Для значения параметра даны более точные границы, а xвыражен конкретнее. Следовательно, для решения задач, сформулированных таким образом, решение графическим методом будет менее точным.

Задача 2:

В двух сосудах, объём каждого составляет 10 л, налиты растворы уксусной кислоты в различной концентрации. В первый сосуд налито α л 9-% раствора, а во второй – 2α л 6% раствора. Их слили вместе в первый сосуд. Каков объём вещества в новом растворе, если новый раствор полностью поместился в десятилитровый сосуд?

Решение:

Математической моделью данной ситуации служит уравнение, роль параметра в задаче играет объём первоначальных растворов.

Обозначим за х л объёмную долю вещества в первом растворе, за у л – объёмную долю вещества во втором растворе. Подставляя значения в формулу , получаем следующие уравнения: . В задаче требуется найти объём вещества в новом растворе, то есть x+y. Следовательно, нужно из полученных уравнений выразить x и y и найти их сумму: . Для того, чтобы построить график функции, введём переменную z=x+y: .Данная функция является линейной, графиком является прямая линия, строящаяся через две точки.

Прежде чем начать построения, рассмотрим, какие значения может принимать параметр α. Так как объём нового раствора не больше 10 л, то , то есть .

Построим график  в системе координат Оzα. Пусть , тогда ; пусть  , тогда [рис.32].

z	0	0,7
α	0

Рисунок 32. График функции .

Учитывая, что ,  то . Это и будет ответом на вопрос задачи.При записи его не забываем, что за z мы обозначали x+y.

Ответ: при .

Задача 3:

Даны два сплава меди и свинца в различных концентрациях. Известно, что в первом сплаве содержится 40% меди. Для переплавки взяли 150 кг первого сплава и 10α кг второго сплава. После переплавки получили новый сплав, концентрация меди в котором составляет 60%. Какова концентрация меди во втором сплаве, если она не меньше 15% и не превышает85%?

Решение:

Данная задача решается при помощи уравнения, роль параметра играет масса сплаваα.

Примем за x концентрацию меди во втором сплаве. Теперь мы можем найти массу меди, которая содержится в каждом взятом сплаве по формуле :  кг и кг. Масса нового сплава равна сумме масс двух взятых сплавов, то есть 150+10αкг. Подставив данные в формулу , получим уравнение . Преобразуем его:

.

Теперь построим график данной линейной функции[рис.33], учитывая, что знаменатель дроби не равен 0, то есть .И так как α>0, то .

Пусть , тогда ; пусть , тогда .

Рисунок 33. Построение графика α=30/(0,1x-6)

Из условия задачи ясно, что , на рисунке 33 эта область ограничена оранжевыми прямыми. Теперь нужно найти координаты пересечения этих линий с графиком функции. По графику видно, и .

Ответ:  при .

Задача 4:

Дан конус. Его осевое сечение является правильным треугольником с площадью S. Какие значения может принимать радиус основания конуса, если площадь его осевого сечения менее 9 см²?

Решение:

Эта задача уже разбиралась в разделе с решением аналитическим методом, поэтому мы можем воспользоваться составленным ранее уравнением . Графиком этого уравнения является парабола. Построим её в системе координат Ors[рис.34].

r	0
S	0

По смыслу задачи S>0 и при этом , то есть 0<S<9.

Из построений видно, что для 0<S<9r может принимать значения приблизительно , но так как r–длина, то

Рисунок 34. График функции S=r²√3

Ответ: .

Замечание: Построение графика в данном случае усложнено иррациональным числом , поэтому мы можем дать только приблизительный ответ.

Задача 5:

Из пункта А в пункт В по течению реки отправился теплоход. Скорость его движения равна αкм/ч. В 7 км по течению от пункта А расположен пункт С. Из него в пункт В со скоростью 2α км/ч отправилсякатер. Его отплытие состоялось спустя час после отплытия теплохода. В пункт В они прибыли одновременно. Каково расстояние между пунктами А и В, С и В, если скорость движения катера меньше 34 км/ч?

Решение:

Примем расстояние между пунктами А и В за х км/ч, роль параметра в задаче будет играть скорость движения α. Расстояние между пунктами С и В равно (х-7) км[рис.35].

Рисунок 35. Расположение пунктов А, В и С

Выразим время движения теплохода и катера: . Разница во времени их движения составляет один час, а так как они прибыли в В одновременно, то . Преобразуем полученное выражение:

.

Графиком функции  является прямая. Построим её по двум точкам, отметим, что , то есть  [рис.36].

Пусть α=4, тогда х=1; пусть α=10, тогда х=13.

Рисунок 36. Построение графика

По графику видно, что при расстояние между пунктами А и В может принимать значения из интервала (0;32), а расстояние между С и В – значения из интервала (0;25), так как оно на 7 км меньше, но при этом величина положительная.

Ответ: , при .

Решение текстовых параметрических задач графическим методом чаще всего применимо именно в повседневной жизни. Человеку проще от руки нарисовать рисунок и посмотреть приблизительные значения переменной и параметра. Для исследований и ситуаций, где требуется точность, лучше использовать аналитический метод решения текстовых задач с параметром.

 

---

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 2350; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!