Задачи на работу и производительность

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Данный тип задач решается по аналогии с простыми текстовыми задачами на производительность: всю работу принято считать равной 1, искомую величину обозначают за х. При этом .

Задача 8:

Мастер и подмастерье вместе выполняют заказ за t часов. За какое время всю работу выполнит каждый, если мастер на выполнение работы тратит на 6 часов меньше, чем подмастерье? При условии, что tне превосходит 20 часов.

Решение:

Задача решается при помощи уравнения, роль параметра играет время совместной работы.

Примем за xч время работы мастера; так как он тратит на 6 часов меньше, то время работы подмастерья – х+6 часов. Учитываем, что х>0 и 0<t≤20.

Примем всю выполненную работу за 1, тогда –общая скорость выполнения работы мастера и подмастерья. Эта величина равна сумме скоростей выполнения работ мастера и подмастерья: . Решим данное уравнение.

; ;

Данное уравнение может быть только квадратным, так как параметр t не входит в состав коэффициента а. Следовательно, нужно найти значение D и рассмотреть его значения.

1) , то есть . Так как t –число положительное, корнем является только t=3.

Подставляем найденное значение t в исходное уравнение: , то есть . Но значение х может быть только положительным, поэтому – время работы мастера, а время работы подмастерья – .

2) , то есть . Решение данного неравенства изображено на рисунке 12:

Рисунок 12. Решение неравенства

Условиям удовлетворяет .

Когда дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней, а так как a>0, то ветви параболы направлены вверх иx всегда будет положительным: x>0 –время работы мастера, x>6 – время работы подмастерья.

3) , то есть . Решение данного неравенства изображено на рисунке 13:

Рисунок 13. Решение неравенства

Учитывая, что 0<t≤20, условию удовлетворяет интервал (3;20].

При положительном дискриминанте уравнение имеет два корня:

Рассмотрим каждый корень в отдельности, учитывая, что x>0:

; ; ;

; . Следовательно, – не корень.

II.

; ; ; ; . Следовательно, время работы мастера ч, а подмастерья: 6 часов.

Ответ: , приt=3; и при ;

и при 3<t≤20.

Задача 9:

За время t первый столяр сделал на 6 заготовок больше, чем второй. Потом второй столяр увеличил производительность на 0,4 детали и за целое число минут догнал и обогнал первого столяра на 4 детали. При каком наибольшем возможном времени t это возможно?

Решение:

Для решения данной задачи нужно ввести две переменных: x– начальная производительность первого столяра, а y – производительность второго. Сделано заготовок за время t: xt=yt+6. Позже второй увеличил производительность на 0,4 детали, то есть его производительность стала (y+0,4) деталей. Через целое число минут m второй столяр обогнал первого на 4 детали, то есть за время m он сделал на 6+4=10 деталей больше, чем первый. То есть (y+0,4)m=xm+10 деталей. Составим из полученных уравнений систему:

, учитывая, что .

; ; ;

Очевидно, что при равенстве левых частей равны и правые части:

; ; .

Рассмотрим выражение : так как t>0 . Решением данного неравенства являются m=0 и m=25, значениями неравенства являются промежутки . Условиям задачи удовлетворяет только m>25.

В задаче требуется найти наибольшее возможное t. Очевидно, что дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель является наименьшим. Учитывая, что m>25 и , m=26. Подставим данное число в выражение для t:

=390 (мин) – данное значение является ответом на вопрос задачи.

Ответ: 390 минут.

Задача 10:

В бассейн проведены три насоса. Первыйоткачивает 60 м³ в час, второй откачивает на 4v м³ в час меньше, чем первый (0<v<30), а третий – на 22vм³больше, чем первый. Работая вместе, первый и второй насос выкачивают заполненного на весь объём бассейна, а потом все три насоса вместе выкачиваютоставшуюся воду из бассейна. При каком значении v бассейн опустеет быстрее всего?

Решение:

Задача решается при помощи уравнения, роль параметра играет производительность труб.

Так как скорость первого насоса 60 м³, тогда скорость второго –(60–4v) м³, а третьего – (60+22v)м³. Одновременная работа первого и второго длилась время t₁: (1). А совместная работа трёх насосов длилась : (2). Всё время работы равно . Выразим из уравнений (1) и (2) и , чтобы найти t.

1) Рассмотрим уравнение .

; ; .

2) Рассмотрим уравнение .

; ; .

Бассейн опустеет быстрее, чем меньше пройдёт времени, то есть когда знаменатель дроби будет наибольшим, учитывая, что 0<v<30.

Рассмотрим значения числителя при .Так как во всех выражениях числителя будет присутствовать множитель 11, его можно не учитывать, а рассматривать наибольшее возможное .

Пусть , тогда .

Пусть , тогда

Повторяем данную процедуру, пока не получим число, которое будет меньше предыдущего.

Пусть , тогда .

Очевидно, что числа дальше будут лишь уменьшаться, поэтому наибольшее значение выражение примет при v=10, тогда данное число и есть ответ на вопрос задачи.

Ответ: 10 м³

Геометрические задачи

Такие задачи встречаются редко, поэтому решение производится по общему алгоритму: «вопрос задачи» обозначают за х, составляют уравнение с параметром на основе условия задачи, преобразуют его, рассматривают значения параметра и чему при этих значениях равен х. Не забывая, что длина – величина всегда положительная, поэтому х и параметр α будут больше 0.

Задача11:

Дан квадрат со стороной, длина которогоk м. От его вершин в направлении обхода по часовой стрелке проведены равные отрезки с концами в точках a, b, c и d, которые в свою очередь соединены прямыми. Площадь квадрата abcd равна S м². Определите длину отрезка между вершиной первоначального квадрата и точкой a в направлении по часовой стрелке.

Решение:

Данная задача является задачей на поиск длины, она решается через уравнение, роль параметра играет длина стороны k.

Для решения данной задачи необходимо построить чертёж [рис. 14]:

Рисунок 14. Квадраты ABCD и abcd

Примем длину отрезка Aa за х (х>0), тогда длины aB=bC=cD=dA=k-x. Сторона квадрата abcd в квадрате, по т. Пифагора, равна . При этом нам сказано, что площадь abcd равна S. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть . Преобразуем полученное уравнение:

;

Найдём значение дискриминанта данного уравнения, воспользовавшись формулой :

Рассмотрим значение дискриминанта. Возможны три случая.

1) Если D<0, то , то есть . Корнями данного неравенства являются числа . Нанесём их на координатную прямую, изображённую на рисунке 15:

Рисунок15. Решение неравенства (k-√S)(k+√S)>0 при D<0

Условию удовлетворяют интервалы ) и ( .Так как k – величина положительная, возьмём только второй интервал, то есть k> .

Учитывая, что при D<0 корней у уравнения нет, а ветви параболы направлены вверх, то при данном значении k решением может являться любое положительное число х.

2) Если D=0, то есть → k= , то уравнение будет иметь один корень. Причём k= >0.Найдём х:

→ .

3) Если D>0, тогда уравнение имеет решения при , они изображены на рисунке 16.

→ k=

Рисунок16. Решение уравнения 2x²-2kx+(k²-S)=0 при D>0

Условию k>0 удовлетворяет интервал .

Тогда ,

Ответ:х – любое положительное число, если k> ; , если k= ;

, если .

Задача 12:

Дан конус. Его осевое сечение является правильным треугольником с площадью S. Какие значения может принимать радиус основания конуса, если площадь его осевого сечения менее 9 см²?

Решение:

В роли параметра в этой задаче выступает площадь сечения S.

Для начала решения рассмотрим чертёж [рис.17]:

Рисунок 17. Осевое сечение конуса ABS'

Радиусом конуса является отрезок ОВ; так как треугольник правильный, то радиус основания конуса равен половине стороны треугольника а. Формула площади равностороннего треугольника вычисляется по формуле , где a=2r, то есть .

Из условия задачи ясно, что 0<S<9, поэтому мы можем составить следующее двойное неравенство: 0< <9. Учитывая, что всегда больше нуля, можем решить неравенство и взять только ту часть, где r>0.

Решением данного неравенства служит интервал , а учитывая, что r– длина, величина всегда положительная, то .

Ответ: при 0<S<9.

Экономические задачи

Задача 13:

Коллекционер купил юбилейные монеты достоинством 10 рублей на 4500 руб., а памятных монет на 5000 руб. Цена одной памятной монеты на 200α больше, чем цена монеты в 10 рублей, где – натуральное число. При этом юбилейных монет куплено на 5 штук больше, чем памятных. Сколько монет каждого вида купил коллекционер?

Решение:

Данная задача решается при помощи уравнения, роль параметра играет цена предмета.

Обозначим за х – количество памятных монет, тогда количество юбилейных монет равно (х+5). Так как дана сумма, потраченная на каждый вид монет, то цена одной монеты каждого вида будет выражаться через формулу : и . По условию, цена памятной монеты на 200α больше, тогда уравнение будет иметь следующий вид: . Теперь можно приступить к решению, учитывая, что и , .

; ;

; .

Так как, по условию, α>0, уравнение при любом α является квадратным. Следовательно, нужно найти дискриминант полученного уравнения, чтобы рассмотреть возможные значения параметраα:

Далее нужно рассмотреть случаи, когда дискриминант принимает положительные значения, отрицательные или равен 0.

1) D<0, [рис.18].

Рисунок 18. Решение неравенства 4α²-76α+1<0

При значении отрицательном значении D уравнение не имеет корней.

2) D=0, , следовательно, α= . Корни нанесены на координатную прямую [рис.19].

;

Так как и , то ; и

Рисунок 19. Значения уравнения 4α²-76α+1=0

Следовательно, , .

3) D>0, [рис.20]

Рисунок 20. Значения неравенства 4α²-76α+1>0

Условиям удовлетворяют промежутки .

Когда D положителен, уравнение имеет следующие корни:

Теперь нужно проверить выполнение условия :

1. [рис.21]

1) α=0

Для проверки знаков на каждом промежутке берём только те α, которые входят в промежутки .

Рисунок 21. Проверка условия x=(-5(2α-1+√(4α²-76α+1)))/4α

Условиям удовлетворяет интервал ; для α из интервала подкоренное выражение равно 0, чего быть не может; интервал не рассматривается, так как α>0.

Для нахождения значений α нужно решить систему

Рисунок 22. Решение системы неравенств для параметра α

Итоговое значение параметра α: .

2. [рис.23]

;

1) α=0

; α=0

Рисунок 23. Проверка значений x=(-5(2α-1-√(4α^2-76α+1)))/4α

Данное неравенство не имеет корней. Поэтому рассматриваем только . Но, по условию, х – количество памятных монет; тогда юбилейных монет куплено

Ответ: , , если .

Задача 14:

Коллекционер купил редкие почтовые марки на 3000 руб., а памятных монет на 7000 руб. Цена одной памятной монеты на 5α больше, чем цена монеты. При этом всего предметов куплено не более 40. Какова цена монеты, марки?

Решение:

Так как в задаче есть выражение «не более», то математической моделью будет неравенство; роль параметра играет цена предмета.

Обозначим за хруб. цену марки, тогда цена памятной монеты равна (x+5α). Так как дана сумма, потраченная на каждый вид монет, то количество монет каждого вида будет выражаться через формулу : и . По условию, купленных предметов не больше 40, тогда неравенство будет иметь следующий вид: . Теперь можно приступить к решению, учитывая, что и , .

; ;

;

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому для решения методом интервалов нужно найти корни каждого множителя.

Очевидно, чтоэтоx=0, и корни уравнения . Рассмотрим дискриминант последнего уравнения, чтобы определить множество значений , учитывая, что, по условию задачи, .

1) D<0, [рис.24].

Рисунок 24. Решение неравенства α²-170α+2500<0

Условию удовлетворяет .

При значении отрицательном значении D уравнение не имеет корней. Следовательно, корнями неравенства являются толькоx=0, [рис.25].

Рисунок 25. Корни неравенства x(x+5α)(x²-5(50-α)x+375α)≥0 при D<0

Получается, что , так как x>0.

2) D=0, , следовательно, α= .

;так же x=0 и x=−5( )=−25(17 . Все решения изображены на рисунке 26.

Рисунок 26. Корни неравенства x(x+5α)(x²-5(50-α)x+375α)≥0 при D=0

Так как х>0, то условиям удовлетворяют интервалы . При этом .

3) D>0, [рис.27]

Рисунок 27. Решения неравенства α²-170α+2500>0

Условиям удовлетворяет .

Тогда корни уравнения :

Получается, что корнями неравенства являются , x=0 и х= [рис.28].

Рисунок 28. Решения неравенства x(x+5α)(x²-5(50-α)x+375α)≥0 при D>0

Условиям удовлетворяет два интервала: и .

Ответ: ;

, при α= ;

, при .

Задача 15:

Отправляясь в путешествие, турист рассчитывал истратить в дороге 720000 руб. В течение первых k дней его расходы совпадали с расчётными, а затем он стал расходовать в день в среднем на 10000 руб. больше, чем предполагал, и, задержавшись в пути на 1 день, вернулся домой, истратив на всё путешествие на 230000 руб. больше, чем предполагал первоначально. Сколько дней продолжалось путешествие? [1, стр.363]

Решение:

Эта задача решается при помощи уравнения, роль параметра играет количество дней пути k.

Примем за x дней – время всего путешествия. Так как путешествие длилось на 1 день дольше, то оно должно было длиться (x-1) дней. А значит, предполагаемые расходы туриста в день были равны руб. Расходы совпадали с предполагаемыми только первые k дней, поэтому потраченная сумма за эти дни: руб. Оставшиеся дни путешествия, то есть (x-k) дней, его расходы превышали планируемые на 10000 руб., то есть они составляли . За всё путешествие он истратил 950000 руб., то есть: руб.

Решая данное уравнение, будем учитывать, что xи k–число дней, следовательно .

; ;

;

Данное уравнение может быть только квадратным, поэтому находим D.

Теперь рассмотрим корни при различных значениях D.

1) D=0,

Данные значения не удовлетворяют условиям задачи, поэтому при D=0 уравнение не имеет корней.

2) D<0, .

Нанесём полученные корни на координатную прямую [рис.29]:

Рисунок 29. Решение неравенства

Решением неравенства является интервал (-39;-5), но данные значения не удовлетворяют условиям, следовательно, при D<0 уравнение не имеет решений.

3) D>0, . Решение данного неравенства изображено на рисунке 30:

Рисунок 30. Решение неравенства

Условиям для kудовлетворяет только интервал . Но при этом k<x.

;

Решаем неравенство :

;

При .

II.

При .

Ответ:

В данном разделе были рассмотрены параметрические текстовые задачи и на составление уравнений, и на составление неравенств, и задачи из каждой группы по содержанию. Во всех задачах был получен ответ, то есть значение переменной и значения параметра, при которых переменная принимает такое значение. Следовательно, любая задача может быть решена аналитическим методом.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 1517; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!