Относительный покой жидкости.

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 18Следующая ⇒

Указания для решения контрольной задачи № 8.

Общее дифференциальное уравнение распределения давления в жидкости записывается в виде:

dp = ρ ∙ [X ∙ dx + Y dy + Z dz] (3.5 - 1)

где x, y, z – координаты точек в системе координат, связанной с сосудом.

ρ ∙ [x , y , z] – гидростатческое давление в любой точке.

X , Y , Z – проекции объемных сил на координатные оси, отнесенные к единице массы.

Рассмотрим три случая:

1) равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением «а»;

2) равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси,

3) равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно горизонтальной оси.

1. В первом случае уравнение свободной поверхности, проходящей через точку (x₀, z₀), определяются равенством:

или ,

где x и z – координаты произвольной точки свободной поверхности, рис …

Давление на глубине h под свободной поверхностью выражается уравнением:

p = p₀ + ρ ∙ [g ∙ + a ∙ sin a⁰] ∙ h, (3.5 - 2)

где p₀– давление в точке с координатами x₀ и z₀.

ρ – давление в произвольной точке жидкости с координатами x, z.

h – глубина погружения рассматриваемой точки под свободной поверхностью.

а⁰– угол наклона дна сосуда.

Из приведенных уравнений, как частные случаи, выводятся уравнения для горизонтального движения (а⁰=О⁰), вертикального движения вверх (а⁰=90⁰) и вертикального вниз (а⁰=270⁰).

ПРИМЕР

Железнодорожная цистерна с размерами b x 2b x c = 4 x 8 x 2 заполнена бензином в количестве, равном одной трети ее емкости, движется горизонтально с постоянным ускорением а>О.

Определить величину ускорения а, при котором свободная поверхность бензина достигнет дна цистерны (рис. ..).

Решение

Уравнение свободной поверхности (3.5 - 2) в случае горизонтального движения, т.е. а⁰=О⁰, sin a⁰=0⁰, cos a⁰=1, имеет вид:

(3.5 - 3)

тогда величина ускорения будет:

(3.5 - 4)

Чтобы определить величину ускорения а, нужно в это уравнение подставить значение координат точек x_0, z₀, x и z, лежащих на свободной поверхности при движении цистерны с этим ускорением.

Выберем начало координат в точке О, тогда

x₀= z₀ = 0.

Для нахождения координат другой точки воспользуемся равенством объемов жидкости в начальном и конечном положениях. При этом условии точка с координатами х = – 4, z = должна лежать на свободной поверхности и уравнение (3.5 - 2) принимает вид: а = , т.е. а = 3,27 м/сек².