Примеры решения задач по теме« Средние величины и показатели вариации»



Виды средних величин и показателей вариации, а также формулы их расчета с пояснением принципов выбора вида и формы показателя приведены на стр. 18-23 данного пособия.

 

Пример 5- Расчет среднейвеличины в интервальных рядах распределения

В таблице 7 приведены условные данные о распределении предприятий по объему продаж:

Таблица 7- Условные данные о распределения предприятий по объему продаж

Объем продаж, тыс. руб.  Количество предприятий, шт.
до 100 2
100-140 15
140-180 10
свыше 180 4

Определите средний объем продаж в расчете на одно предприятие.

 

Решение:

При расчете среднего значения признака в интервальных вариационных рядах используется средняя арифметическая взвешенная, определяемая по формуле (5.2), приведенной в таблице 3:

 

 

В формуле в качестве значения признака  используется дискретное число, однако в приведенном примере значение признака приводится в виде интервала. В этом случае за  принимается середина каждого интервала, определяемая как полусумма максимального и минимального значения признака в группе.

Например, если группировочный интервал 8-10, за будет принято число 9, так как полусумма максимального и минимального значения признака в группе будет определена следующим образом:

 

 

При наличии открытых интервалов, у которых определена только одна граница – верхняя или нижняя, открытый интервал принимается равным по величине смежному с ним закрытому интервалу.

У первой группы имеется открытый интервал, в котором указана только верхняя граница. В нашем случае, он принимается равным по величине второму интервалу, т. е. считается, что у первой группы объем продаж составит от 60 до 100 тыс. руб. Серединой интервала в данном случае будет объем продаж, равный 80 тыс. руб. ( ).

Открытый интервал у последней группы принимается равным по величине предшествующему интервалу, т. е. примет значения от 180 до 220 тыс. руб., а середина интервала будет рассчитана ( )

Средний объем продаж по данной совокупности определим так:

 

 

Пример 6 - Расчет средней, показателей вариации, моды и медианы в интервальном вариационном ряду распределения

Имеются данные о затратах времени на изготовление деталей в 200 отраслях:

 

Таблица 8 -Условные данные о затратах времени на изготовление деталей

Время, затраченное на изготовление 1 детали, мин. Число деталей, штук Сумма накопленных частот, Si
1 2 3
8-10 14 14
10-12 26 40
12-14 75 115
14-16 40 155
16-18 20 175
18-20 15 190
20-22 10 200
Итого 200 Х

По приведенным данным вычислите:

1. Среднее значение варьирующего признака;

2. Показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты вариации и осцилляции;

3. Моду и медиану.

Решение:

 Задачи данного типа рекомендуется решать в табличной форме. За значение признака ( ) принимаются середины интервалов, методика определения которых рассмотрена в предыдущем примере.

Определим среднее значение признака по формуле средней арифметической взвешенной (5.2), подставляя данные из гр. 3 и 2 таблицы 9:

 

 

 

 

Таблица 9 - Расчетная таблица

xi fi xifi
1 2 3 4 5 6
9 14 9 · 14 = 126 |9 - 14,1| = 5,1 5,1 · 14 = 71,4 5,12 · 14 = 364,14
11 26 11 · 26 = 286 |11 - 14,1| = 3,1 3,1 · 26 = 80,6 3,12 · 26 = 249,86
13 75 975 1,1 82,5 90,75
15 40 600 0,9 36,0 32,40
17 20 340 2,9 58,0 168,20
19 15 285 4,9 73,5 360,15
21 10 210 6,9 69,0 476,10
Итого 200 2822 24,9 471,0 1741,60

 

Размах вариации рассчитываем как разницу между серединами первого и последнего интервалов:

R = 21 - 9 = 12 мин.

 

Среднее линейное отклонение определяется по формуле (5.14):

 

Среднее квадратичное отклонение определим по формуле (5.16):

 

 

 

данные для расчета дисперсии содержатся в графах 2 и 6 таблицы 9. В данном примере она определяется по формуле (5.18):

 

 

 

коэффициент вариации определяем, подставляя данные в формулу (5.22):

 

 

 

Коэффициент осцилляции в нашем примере определяется по формуле (5.20) и он равен:

 

 

 

2. Чтобы определить моду в данном интервальном ряду распределения, воспользуемся формулами (5.10):

 

 

Вначале определяют модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту. В данном примере модальным является интервал 12-14 минут, т.к. его частота составляет 75 единиц.

Нижняя граница модального интервала (хмо) составит 12, величина модального интервала (iмо) = 2, частота модального интервала (fмо) = 75, частота интервала, предшествующего модальному (f(мо-1)) = 26, частота интервала, следующего за модальным (f(мо+1)) = 40. Следовательно, мода равна:

 

 

Для определения медианы в интервальном ряду распределения воспользуемся формулой (5.11):

 

 

Найдем медианный интервал. У медианного интервала сумма накопленных частот должна быть равна половине суммы всех частот ряда или превышать эту величину. В нашем примере сумма всех частот равна 200 единицам, полусумма - 100 единиц (200 : 2).

В гр. 3 таблицы 8 рассчитываются суммы накопленных частот последовательным сложением частот каждой группы. Для первой группы сумма накопленных частот - 14 единиц, для второй - 40 (14+26), для третьей - 115 (14 + 26 + 75) и т.д.

В третьей группе сумма накопленных частот впервые превысит полусумму всех частот ряда (115 больше 100), следовательно, третья группа является медианной, а медианный интервал - 12-14 мин. тогда медиана равна:

 

 

Вывод. из приведенных расчетов видно, что среднее время на изготовление 1 детали составит 14,1 мин., при этом половина рабочих затратит на изготовление 1 детали в среднем не более 13,6 мин. (Ме = 13,6), а самая многочисленная группа затратит на изготовление 1 детали в среднем 13,2 мин.

Индивидуальное время на изготовление 1 детали отклоняется от среднего времени в среднем на 2,9 мин. (σ = 2,95), что составляет 20,9% (V = 20,9). Средняя типична для совокупности, т.к. коэффициент вариации не превышает 30%.

 

 


Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 13091; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!