Свойства параллелепипеда и прямоугольного параллелепипеда.
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда
Свойства прямого:
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые гранипрямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
3.Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
БИЛЕТ 14.
Свойства параллельных плоскостей.
А) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Доказательство.
Пусть α и β - параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.
Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.
Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b.
Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны. 
Б) Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.
Доказательство.
Пусть α и β - параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.
Через прямые a и b можно провести плоскость - эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.
|
|
|
Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD.
По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.
Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; Между параллельными плоскостями, между прямой и параллельной ей плоскостью, между скрещивающимися прямыми.
Расстояние от точки до прямой -равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Расстояние от точки до плоскости - равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
БИЛЕТ 15.
Теорема о равенстве углов с соответственно сонаправленными сторонами.
|
|
|
Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.
Доказательство
Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОВ и О1В1 (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А1О1В1, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.
Рис. 2.
На стороне луча ОА и О1А1 выберем точки А и А1 так, чтобы отрезки ОА и О1А1 были равны. Аналогично, точки В и В1выберем так, чтобы отрезки ОВ и О1В1 были равны.
Рассмотрим четырехугольник А1О1ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А1О1ОА является параллелограммом. Так как А1О1ОА – параллелограмм, то стороны ОО1 и АА1 параллельны и равны.
Рассмотрим четырехугольник В1О1ОВ. В этом четырехугольники стороны ОВ и О1В1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1О1ОВ является параллелограммом. Так как В1О1ОВ – параллелограмм, то стороны ОО1 и ВВ1 параллельны и равны.
Рис. 3.
И прямая АА1 параллельна прямой ОО1, и прямая ВВ1 параллельна прямой ОО1, значит прямые АА1 и ВВ1 параллельны.
Рассмотрим четырехугольник В1А1АВ. В этом четырехугольники стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1А1АВ является параллелограммом. Так как В1А1АВ – параллелограмм, то стороны АВи А1В1 параллельны и равны.
|
|
|
Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. Стороны ОА и О1А1равны по построению. Стороны ОВ и О1В1 также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А1В1 тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А1О1В1 равны, что и требовалось доказать.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 692; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!