Переходный процесс в цепи второго порядка
Корни характеристического уравнения и решение для свободной функции
Если цепь описывается уравнением второго порядка, свободная составляющая содержит два слагаемых:
(1).
где 
и 
- корни квадратного характеристического уравнения.
Они могут быть :
− действительными различными числами;
− действительными равными числами;
− комплексно-сопряженными числами.
Во всех случаях действительные компоненты – отрицательные.
Корни характеристического уравнения определяют характер переходного процесса (форму переходной функции). Поэтому уравнение и называют характеристическим. Т.о. возможны три варианта:
1. Решение (1) является универсальным, но непосредственно срабатывает только при действительных различных корнях.
2. При действительных равных корнях отыскание решения в форме (1) в каждом конкретном случае приведет к неопределенности вида 0/0. После раскрытия ее по правилу Лапиталя получается конкретный результат, который можно получить сразу, отыскивая решение в виде:
(2).
3. Используя формулу (1) при комплексно-сопряженных корнях мы получим два комплексно-сопряженных слагаемых, которые сворачиваются по формулам Эйлера и образуют обязательно действительную функцию. К тому же результату можно прийти, если отыскивать решение в виде:
(3).
Здесь: 
и 
− компоненты корней характеристического уравнения: 
.
Во всех приведенных решениях есть две постоянные интегрирования: 
и 
или 
и 
.
Рис. 1.63
|
Рис. 1.62.
|
4. Возможен нулевой корень, который дает в решении постоянную свободную составляющую (ток в индуктивном контуре без потерь (рис 1.62), напряжение на последовательно соединенных емкостях (рис. 1.63).
5. Два мнимых сопряженных корня дают незатухающую свободную синусоиду (свободные колебания в идеальном колебательном контуре).
Определение постоянных интегрирования.
Решение для каждой функции имеет две постоянных интегрирования. Для их определения нужны два начальных условия: для самой функции и для ее первой производной. Подставив их в решение и в выражение для его первой производной, получим систему двух алгебраических уравнений с искомыми постоянными интегрирования:
3. Содержание расчета переходного процессас использованием зависимых начальных условий представляется в виде следующей структуры:
Рис. 1.64
|
Как и в цепи первого порядка, формирование решения начинается с расчета трех независимых друг от друга задач, и только на конечном этапе эти три исходные линии сливаются в окончательное решение.
Возможен другой вариант расчета: без использования зависимых начальных условий, т.к. число постоянных интегрирования равно числу независимых начальных условий. Но это связано с обработкой системы уравнения Кирхгофа и с использованием дифференциальных соотношений для реактивных накопителей, что исключает возможность проверки правильности расчета по этим соотношениям и уравнениям цепи. Характер переходного процесса рассматривается в параграфе § 1.11.
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 539; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!