Общие принципы классического анализа
Переходных процессов
Принужденная и свободная функции
1. Классический метод расчета переходных процессов сводится к непосредственному решению (интегрированию) системы независимых уравнений, составленных для цепи, например по I и II законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений с определением постоянных интегрирования по начальным условиям.
Путем последовательного исключения переменных система сводится к одному уравнению высшего порядка относительно какой-либо функции.
Рис. 1.8
|
Например:
Сведем систему к функции тока 
:
из второго уравнения выразим ток 
: 
.
из третьего уравнения выразим ток 
: 
.
Подставляя токи и в первое уравнение системы, получим уравнение цепи для тока 
:
,
или в каноническом виде:
.
Комментарии по поводу размерностей коэффициентов:
, 
, 
, 
.
т.о. все слагаемые нашего уравнения это Амперы.
В общих обозначениях для любой произвольной функции:
Для произвольной схемы в общих обозначениях :
Искомая 
- результат этого интегрирования этого уравнения.
Математическая характеристика уравнения и способ отыскания его решения
Это:
1. Обыкновенное дифференциальное уравнение (одна независимая переменная – время 
).
2. Линейное дифференциальное уравнение ( 
и её производные входят в первой степени).
3. Дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (комбинации постоянных параметров, зависящие от структуры схемы).
|
|
|
4. Неоднородное уравнение (с правой частью), 
– функция времени, которая является линейной комбинацией возмущений внешних источников.
5. Порядок уравнения зависит от числа реактивных накопителей, структуры схемы и соотношения параметров. Но он не более общего числа реактивных элементов. В нашем примере он равен двум (два накопителя – катушка и конденсатор).
Итак: для линейной цепи это обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Математический вид уравнения определяет способ отыскания его решения. Для уравнения такого вида решение отыскивается в виде суммы двух линейно независимых слагаемых. В электротехнической терминологии это принужденная и свободная функции.
.
Здесь:
– частное решение неоднородного уравнения. Математически оно отыскивается в виде правой части. Значит, вид этого решения полностью определяется источниками. Поэтому в электротехнике это решение и называют принужденной составляющей. Рассчитывается эта функция известными математическими методами (например: методом неопределенных коэффициентов).
|
|
|
В двух существенно важных случаях, смысловое содержание 
позволяет обойти формальные математические способы отыскания этого решения.
В цепи с постоянными источниками правая часть уравнения – постоянное число. Решение 
должно удовлетворять уравнениям цепи. Постоянные решения наблюдаются в НУР. Поэтому 
естественным образом отождествляется с решениями в НУР. Для определения любой функции нужно просто рассчитать НУР цепи постоянного тока.
Аналогично в цепи с синусоидальными источниками – синусоидальная функция. Решения 
для всех функций синусоиды, удовлетворяющие уравнениям схемы. Они естественно находятся из расчета нового синусоидального режима работы схемы.
Свободная составляющая 
– общее решение однородного дифференциального уравнения. Это множество решений уравнения без правой части. Оно не формируется внешними источниками. Приравнивая к нулю правую часть уравнения, мы тем самым исключаем из схемы внешние источники энергии. Однородным уравнением описывается цепь с исключенными источниками. Поэтому решение 
в электротехнике и называют свободной составляющей.
Число слагаемых суммы равно порядку дифференциального уравнения. Здесь 
– постоянные интегрирования, а 
- корни характеристического уравнения.
|
|
|
Во время переходного процесса в цепи с источниками существует функция 
, и нельзя физически выделить её слагаемые 
и . Такое разделение следует рассматривать только как удачно найденный математический прием отыскания решения.
Физически в чистом виде принужденный процесс можно наблюдать только в новом установившемся режиме в цепи с постоянными или синусоидальными источниками. Свободный процесс в чистом виде можно наблюдать как переходную функцию в цепи без источников.
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 279; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!